ideal = module

[CharlieEppes]

1. Explain that an ideal I in a ring A is also a module over A. Explain that a submodule of a ring A is the same as an ideal in the ring A.

Vet dette gjerne er ganske trivielt, men liker å ha det gjort skikkelig. Noen som kan si om dette er rett eller peke på hva jeg kunne gjort bedre:


En Ring (A,+,*) og den additive gruppen (A,+). Et ideal I er et subset av A dersom følgende er oppfyllt:
1. [tex](I,+)\subseteq (A,+)[/tex]
2. [tex]\forall x \in I, \forall r \in A : xr,rx \in I[/tex]

Som er ekvivalent med å si at I er en A-module.

En A-module er en additiv gruppe [tex](M,+)[/tex]
med et map [tex]f : A\times M \rightarrow M[/tex]
S.A. [tex]=>[/tex]
i) [tex]r\cdot (x +y) = rx + ry[/tex]
ii) [tex](r+s) \cdot x = rx + sx[/tex]
iii) [tex](rs)\cdot x = r \cdot (s \cdot x)[/tex]
iv) [tex]1_{A} \cdot x = x[/tex]

Som er det samme som å si at M er et ideal av A.

[Gustav]

1. Explain that an ideal I in a ring A is also a module over A.

La $I$ være et ideal i $A$. Man må da vise at alle kravene til en modul over A er oppfylt.

$(I,+)$ er per definisjon en gruppe, så det kravet er automatisk oppfylt.

$I$ er lukket under addisjon siden den er en gruppe. Dermed er $x+y\in I$ for $x,y\in I$

Alle regnereglene i i)-iv) er oppfylt fra definisjonen av en ring, og alle produktene (r(x+y), (r+s)x, (rs)x, 1x) er elementer i $I$ fra definisjonen av ideal, så kodomenet til avbildningen (multiplikasjon med elementer i A) er $I$.

Det er vel nok forklaring, kanskje.

[CharlieEppes]

Var det jeg tenkte at man bare peker ut at det er likheter i definisjonen av begge,
og at de oppfyller hverandres krav. Kommer nok en del spørsmål til om Commutative algebra, bør jeg bare lage en post, til alle spørsmålene med emne commutative algebra, eller kan jeg fortsette med nye innlegg for oppgave?

Takk igjen ^^

[Gustav]

Var det jeg tenkte at man bare peker ut at det er likheter i definisjonen av begge,
og at de oppfyller hverandres krav. Kommer nok en del spørsmål til om Commutative algebra, bør jeg bare lage en post, til alle spørsmålene med emne commutative algebra, eller kan jeg fortsette med nye innlegg for oppgave?

Takk igjen ^^

Tror det er greit å lage nye poster hvor hvert spørsmål, mest med tanke på at det blir ryddigere for folk som senere søker opp spørsmål.

Kom gjerne med flere spørsmål innen algebra!