Free modules

[CharlieEppes]

Gitt idealet [tex]I = (x^2,xy) \subseteq k[x,y][/tex]. Er dette en "free module"?
Lag map:
[tex]A^2 \overset{\phi }{\rightarrow} I[/tex]
[tex](1,0) \mapsto x^2 \\ (0,1) \mapsto xy[/tex]

og finn ker [tex]\phi[/tex],
er dette en free module?

Her er jeg usikker på hvordan jeg skal begynne. Har tenkt litt slik:
- siden I er ideal så er det en module.
- den er free om det finnes en basis for I?
dvs. en [tex]S \subseteq I[/tex] slik at enhver [tex]m \in I[/tex] og [tex]s \in S[/tex]
kan skrives til [tex]m = \sum a_{i}*s_{i}[/tex], [tex]a_{i} \in k[/tex].

Er klar over at dette er feil, men er jeg inne på det i det hele tatt?

[Gustav]

Er $A=k[x,y]/(xy)$ igjen?

siden I er ideal så er det en module.
- den er free om det finnes en basis for I?

Ja. Husk også at $S$ må være lineært uavhengig. Dermed vil $m$ kunne skrives på formen du anga på en unik måte. Hvis $S$ er uendelig, så vil ethvert element i $I$ kunne skrives som en endelig lineærkombinasjon av elementer i $S$, og lineær uavengighet gjelder for alle endelige delmengder av $S$.

[CharlieEppes]

Står ikke spesifisert hva A er, eneste i en tidligere oppgaver er A en ring..

[Kake med tau]

Du kan bruke at modulen er fri [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\phi[/tex] er en isomorfi. (Dette betyr at alt i [tex]I[/tex] kan skrives som [tex]\sum a_1 x^2+a_2xy\mid a_1, a_2 \in k[x,y][/tex] og betyr, som du sa, at den har en basis) Angående ringen, [tex]A[/tex] må vel være [tex]A=k[x,y][/tex]?

Det går kanskje også an å bruke at hvis [tex]a_1x^2+a_2xy=0\Rightarrow a_1=a_2=0 \mid a_1, a_2 \in k[x,y][/tex] så er [tex]x^2[/tex] og [tex]xy[/tex] lineært uavhengige?

[CharlieEppes]

Men har vi ikke at for
f*x^2 + g*xy , [tex]f,g \in k[x,y][/tex]
dersom f = xy og g = -x^2
har vi jo at:
x^3y - x^3y = 0, vil ikke det si at de ikke er lineært avhengige?

har vi da at I ikke er en free module?
beklager hvis spørsmålene er dumme, men sliter litt med å forstå dette :/

[Kake med tau]

Ingen spørsmål er dumme

Jo, det ser riktig ut, og da er de ikke lineært uavhengige siden du har funnet [tex]a_1\neq 0[/tex] og [tex]a_2\neq 0[/tex], så de kan ikke forme en basis (Du husker kanskje at dette er en av kriteriene for en basis i lineær algebra?). En annen måte du kan se det på er å finne [tex]Ker(\phi)[/tex]. For at [tex]\phi[/tex] skal være en isomorfi må du ha:

• [tex]Im(\phi)=I[/tex]
• [tex]Ker(\phi)=0[/tex]

Hvis [tex]Ker(\phi)\neq 0[/tex] kan det ikke være en isomorfi. Jeg tror nok du kommer til å bli overrasket når du ser hva [tex]Ker(\phi)[/tex] er.

[CharlieEppes]

Javisst, [tex]\ker(\phi) = (axy , -ax^2) \in A^2[/tex] ??
har du alle betingelsene/hele teoremet som sier den ekvivalensen (fri <=> [tex]\phi[/tex])?
finner ikke en lignende i boken
hva kan vi si om kernelen da? er den fri?

[Kake med tau]

Hvis du bruker Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra så kan du lese nøye det nederste avsnittet (s. 40) under definition

[tex]Ker(\phi)[/tex] ser riktig ut! Da gjenstår spørsmålet: er det en fri modul?

• Hvor mange elementer trenger du for å generere [tex]Ker(\phi)[/tex]?
• Hvis [tex]Ker(\phi)[/tex] er fri, så er det mulig å lage en isomorfi [tex]\chi :A^n\rightarrow Ker(\phi)[/tex], hvor [tex]n[/tex] er antall elementer for å generere [tex]Ker(\phi)[/tex]

[CharlieEppes]

er da [tex]\phi[/tex] en funksjon fra ringen/modulen A til M?
liker at du har boken lett tilgjengelig

[Kake med tau]

[tex]\phi[/tex] er funksjon fra [tex]A[/tex] til [tex]M[/tex] ja. Hvis du tenker på det som et vektorrom så er [tex]A[/tex] skalarene, og [tex]M[/tex] settet med vektorer. Ja, må nesten ha boken lett tilgjengelig, tar faget dette semesteret

[CharlieEppes]

klarer ikke helt se antall elementer som trengs: [tex]A^n \rightarrow ker(\phi)[/tex]
har en følelse av at man trenger uendelig siden axy = bxy ==> a = b , samme for x^2

Hvor tar du det?

[Kake med tau]

Se en gang til på [tex]Ker(\phi)=(axy, -ax^2)[/tex], og legg merke til at [tex](axy, -ax^2)=a\cdot (xy, -x^2)[/tex]. Hva var lov til å variere her?

[CharlieEppes]

ser også at kernel kan være (ay,-ax) og ikke (axy , -ax^2)

[tex]\theta : A^2 \rightarrow \ker(\phi)[/tex]
[tex]a \mapsto (axy , -ax^2)[/tex]
ker([tex]\theta[/tex]) = {0}
noe slikt?

[Kake med tau]

Sender du fra [tex]A[/tex] eller [tex]A^2[/tex]? [tex]a\in A[/tex], men [tex]a\notin A^2[/tex], men idéen din er helt riktig! Og det er rett det du sier at [tex]Ker(\phi)=(ax, -ay)[/tex]

[CharlieEppes]

så vi bytter ker og får [tex](a,a) \mapsto (ay, -ax)[/tex]
slik at [tex]ker(\theta) = {0}[/tex]
og [tex]\theta[/tex] er en isomorphism.
dermed er ker([tex]\phi[/tex]) en free module?