Induksjon

[Gunnaren]

Finn en formel for den n’te deriverte til funksjonen f(x) = √x. Formelen
skal bevises, f.eks. ved induksjon.
Jeg har kommet frem til at det er noe*x^1/2-n, men klarer ikke å lage en formel for det som kommer før. For 1. deriverte er det 1/2, andrederiverte -1/4, tredjederiverte 3/8 osv.

[DennisChristensen]

Finn en formel for den n’te deriverte til funksjonen f(x) = √x. Formelen
skal bevises, f.eks. ved induksjon.
Jeg har kommet frem til at det er noe*x^1/2-n, men klarer ikke å lage en formel for det som kommer før. For 1. deriverte er det 1/2, andrederiverte -1/4, tredjederiverte 3/8 osv.

Vi finner svaret for noen små verdier av $n$:

$\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.
$\displaystyle f''(x) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}$.
$\displaystyle f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-\frac{5}{2}}$.

Dette alluderer til formelen $\displaystyle f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n+1}(2n-3)...\space 3\cdot 1}{2^n}x^{-\frac{2(n-1)+1}{2}} = \frac{(-1)^{n+1}(2n-2)!}{2^n \cdot 2^{n-1}\cdot (n-1)!}x^{-\frac{2(n-1)+1}{2}} = \frac{(-1)^{n+1}(2n-2)!}{2^{2n-1}\cdot (n-1)!}x^{-\frac{2(n-1)+1}{2}},\space\space n \geq 1$.

Vi kan nå enkelt bevise at dette stemmer ved induksjon.


Grunntilfellet: $n=1$
Venstre side $\displaystyle = f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{(-1)^2\cdot 0!}{2^1\cdot 0!}x^{-\frac{2\cdot 0 + 1}{2}} = \frac{(-1)^{1+1}(2\cdot 1 - 2)!}{2^{2\cdot1 - 1}\cdot (1 - 1)!}x^{-\frac{2(1-1) + 1}{2}} = $ Høyre side.


Induksjonssteget: Anta at formelen gjelder for $f^{(n-1)}(x), \space \space n \geq 2$. Da får vi at

$\displaystyle\begin{align*} f^{(n)}(x) & = \frac{d}{dx} f^{(n-1)}(x) \\
& = \frac{d}{dx}\frac{(-1)^{n}(2n-4)!}{2^{2n-3}\cdot (n-2)!}x^{-\frac{2(n-2)+1}{2}} \\
& = \left(-\frac{2(n-2)+1}{2}\right)\frac{(-1)^{n}(2n-4)!}{2^{2n-3}\cdot (n-2)!} x^{-\frac{2(n-2)+1}{2} - 1} \\
& = \left(\frac{(-1)(2n-3)}{2}\right)\frac{(-1)^{n}(2n-4)!}{2^{2n-3}\cdot (n-2)!}x^{-\frac{2(n-1)+1}{2}} \\
& = \left(\frac{(-1)(2n-3)(2n-2)}{2^2(n-1)}\right)\frac{(-1)^{n}(2n-4)!}{2^{2n-3}\cdot (n-2)!}x^{-\frac{2(n-1)+1}{2}} \\
& = \frac{(-1)^{n+1}(2n-2)!}{2^{2n-1}\cdot (n-1)!}x^{-\frac{2(n-1)+1}{2}}\end{align*}$.

Dermed er påstanden bevist ved induksjon.

[Gunnaren]

hvorfor opphøyd i −(2(n−1)+1)/2 istedenfor 1/2-n?

[DennisChristensen]

hvorfor opphøyd i −(2(n−1)+1)/2 istedenfor 1/2-n?

Oisann, aner ikke hvorfor jeg skrev det så komplisert! $\frac{1}{2} - n$ er selvsagt langt bedre å bruke!

[Guest]

Noen andre forslag? den formelen var ikke riktig

[Fysikkmann97]

Hva er feil med den?

[Guest]

Hva er feil med den?

omforme?