Julekalender - luke 9

[Gustav]

La $\lfloor x\rfloor$ være gulvfunksjonen definert som det største heltallet mindre enn eller lik $x$. F.eks. er $\lfloor 5.2\rfloor =5$, $\lfloor 1.9\rfloor =1$, $\lfloor 10.0\rfloor =10$ osv.

Finn summen $\lfloor \sqrt{1}\rfloor +\lfloor \sqrt{2}\rfloor +\lfloor \sqrt{3}\rfloor +\lfloor \sqrt{4}\rfloor +\cdots +\lfloor \sqrt{48}\rfloor +\lfloor \sqrt{49}\rfloor +\lfloor \sqrt{50}\rfloor$

[Fysikkmann97]

>2 = sqrt(1) - sqrt(3) = 3*1
>3 = sqrt(4) - sqrt(8) = 5*2
>4 = sqrt(9) - sqrt(15) = 7*3
>5 = sqrt(16) - sqrt(24) = 9*4
>6 = sqrt(25) - sqrt(35) = 11 *5...
>7 = sqrt(36) - sqrt(48) = 13 * 6
>8 = sqrt(49) - sqrt(50) = 2*7

3 + 10 +21 +36 +55 +78 +14 = 215

[skf95]

Tenkte óg som Fysikkmann, men fikk summen 217. Litt hjertekjærende bruk av likhetstegn i forklaringen din, Fysikkmann, men tror du bare summerte litt feil helt til slutt der

[Fysikkmann97]

ja, godt mulig det.

[Gustav]

217 er selvsagt korrekt

[skf95]

Prøver meg på en oppfølger:

La $k$ være et kvadrattall. Finn et generelt uttrykk for summen

$\lfloor \sqrt{1}\rfloor +\lfloor \sqrt{2}\rfloor +\lfloor \sqrt{3}\rfloor +\lfloor \sqrt{4}\rfloor +\cdots +\lfloor \sqrt{k-1}\rfloor +\lfloor \sqrt{k}\rfloor$

[skf95]

Litt interessert i om sammenhengen jeg så faktisk stemmer generelt, så svarer på min egen oppfølgning i håp om at noen smartinger kan verifisere at det stemmer:

Observerer, f.eks. fra Fysikkmanns kladd over, at vi har et system der vi summerer produktet av de naturlige tallene og et tilhørende oddetallet. Siden vi ønsker å inkludere $\sqrt{k}$, leder dette oss til følgende sum

$S=\sqrt{k}+\sum _{n=1}^{\sqrt{k}-1}n(1+2n)=\sqrt{k}+\sum _{n=1}^{\sqrt{k}-1}n+2\sum _{n=1}^{\sqrt{k}-1}{n}^2=\sqrt{k}+\frac{(\sqrt{k}-1)(\sqrt{k}-1+1)}{2}+2\left(\frac{(\sqrt{k}-1)(\sqrt{k}-1+1)(2(\sqrt{k}-1)+1)}{6}\right)\stackrel{\sqrt{k}=p}{=}\frac{4p^3-3p^2+5p}{6}$

[Gustav]

Ser riktig ut dette!