Oppgaver [VGS]

[Drezky]

(Oppgåve 1)

$\frac{1}{x^2-10x-45}+\frac{1}{x^2-10x-29}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0$

Finn den positive løsningen.

(Oppgåve 2)

Regn ut :

$\frac{({10}^4+324)({22}^4+324)({34}^4+324)({46}^4+324)({58}^4+324)}{(4^4+324)({16}^4+324)({28}^4+324)({40}^4+324)({52}^4+324)}$


(Oppgåve 3)

Finn det ubestemte integralet

$\int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}dx$

(Oppgåve 4)


La $x_1=97$, og for $n>1$ la $x_n=\frac{n}{x_n-1}$. Finn $x_1\ast x_2\ast ...\ast x_8$

(Oppgåve 5)

Finn summen av løsningene til likningen:

$\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}$

(Oppgåve 6)

Hva er det største positive heltallet $n$ slik at $n^3+100$ er delelig med $n+10$?

(Oppgåve 7)

$(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})$

Hva er produktet lik?

(Oppgåve 8)

$\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}$ kan skrives som $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}$ hvor $a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Finn verdien av $abc$

(Oppgåve 9)

Hvis $f(x+3)=3x^2+7x+4$ og $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Hva er $a+b+c$ lik?

(Oppgåve 10)

Hvis $\sin \alpha +\sin \beta =\sqrt{\frac{5}{3}}$ og $\cos \alpha +\cos \beta =1$. Hva er $\cos (\alpha -\beta )$?

(Oppgåve 11)

$\sqrt{3}\sin (x)+\cos (x)=c$ hvor $x\in [0,2\pi ]$.
For hvilke verdier av $c$ har denne likningen A én løsning B to løsninger og C null løsninger

(Oppgåve 12)

Hva er det følgende uttrykket lik:

$\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}$

(Oppgåve 13)

$|x-1|=|x-2|$

Finn x.

(Oppgåve 14)

Gitt at $-4\le x\le -2U2\le y\le 4$

Hva er den største verdien av $\frac{x+y}{x}$?


$EDIT$: La til flere oppgaver

Dette får holde for min del ......

[Gustav]

6. $\frac{n^3+100}{n+10}=n^2-10n+100-\frac{900}{n+10}$, så n=890 er det største tallet slik at høyresida er et heltall.

[stensrud]

Oppgave 3
Finn det ubestemte integralet
$$\int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}dx.$$

Løsning
Vi setter $u=\sqrt{1-x^2}$, slik at $dx=-\frac{u}{x}du$, og integralet blir
$$-\int \frac{1}{u+1}du=-\ln |u+1|+C=-\ln (\sqrt{1-x^2}+1)+C.$$

[Drezky]

6. $\frac{n^3+100}{n+10}=n^2-10n+100-\frac{900}{n+10}$, så n=890 er det største tallet slik at høyresida er et heltall.

Jepp, er det mulig å anvende den euklidske algortimen her?

Hvis $\frac{n^3+100}{n+10}=r,r\in {\mathbb{Z}}^{+}$
må vel $sfd(n+10,n^3+100)=n+10?$

Oppgave 3
Finn det ubestemte integralet
$$\int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}dx.$$

Løsning
Vi setter $u=\sqrt{1-x^2}$, slik at $dx=-\frac{u}{x}du$, og integralet blir
$$-\int \frac{1}{u+1}du=-\ln |u+1|+C=-\ln (\sqrt{1-x^2}+1)+C.$$

Sneket seg en liten feil i $du=..dx$ ?



Jeg gjorde det kanskje litt mer omstendelig enn det burde vært.

$\int \frac{x}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}}dx$

$u=1-x^2⟹u^{\prime }=-2x$

$\frac{du}{dx}=-2x⟺du=-2xdx⟺-\frac{1}{2}du=xdx$

Dermed kan vi erstatte telleren og dx,

$-\frac{1}{2}\int \frac{1}{u+\sqrt{u}}du$

Substitusjon igjen;
$z=\sqrt{u}⟺z^2=u⟹2zdz=du$

$-\frac{1}{2}\int \frac{2z}{z^2+z}dz=-\frac{1}{2}\ast 2\int \frac{z}{z(z+1)}dz=-\int \frac{1}{z+1}dz$


$-\int \frac{1}{z+1}dz=-\ln |z+1|+C$

Innfører tilbake subtitusjonen:

$-\ln |z+1|+C=-\ln |\sqrt{u}+1|+C=-\ln |\sqrt{1-x^2}+1|+C$

[Janhaa]

1:

$\frac{1}{x^2-10x-45}-\frac{1}{x^2-10x-29}=0$

som gir:

$x^2-10x-29-(x^2-10x-45)=0$

ingen løsning eksisterer

[Kay]

1:

$\frac{1}{x^2-10x-45}-\frac{1}{x^2-10x-29}=0$

som gir:

$x^2-10x-29-(x^2-10x-45)=0$

ingen løsning eksisterer

Fiffig, Herr Wolfram foreslår at likninga har 2 løsninger, hvorav en er positiv

[stensrud]

Sneket seg en liten feil i $du=..dx$ ?

Tror ikke det: Med $u=\sqrt{1-x^2}$ så er
$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{u},$$
så da må $dx=-\frac{u}{x}du$, slik som jeg skrev?

[Janhaa]

1:
$\frac{1}{x^2-10x-45}-\frac{1}{x^2-10x-29}=0$
som gir:
$x^2-10x-29-(x^2-10x-45)=0$
ingen løsning eksisterer

Fiffig, Herr Wolfram foreslår at likninga har 2 løsninger, hvorav en er positiv

Var litt rask der ja; etter å ha multiplisert med F. N. og rydda opp fås:

$64(x-13)(x+3)=0$
som gir
$x=-3$
$x=13$

[Janhaa]

7:

$(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})=2\sqrt{30}-4$
og
$(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{30}+4$
DVs
$(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})$
$=(2\sqrt{30}+4)(2\sqrt{30}-4)=4\cdot 30-4^2=104$

[Drezky]

Tror ikke det: Med $u=\sqrt{1-x^2}$ så er
$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{u},$$
så da må $dx=-\frac{u}{x}du$, slik som jeg skrev?

Stemmer, så ikke helt overgangen

Var litt rask der ja; etter å ha multiplisert med F. N. og rydda opp fås:

$64(x-13)(x+3)=0$
som gir
$x=-3$
$x=13$

$\frac{1}{x^2-10x-45}+\frac{1}{x^2-10x-29}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0$

Subtitusjon; $u=x^2-10x-29$ gir oss:

$\frac{1}{u-16}+\frac{1}{u}-\frac{2}{u-40}=0⟺(u-40)(u-16)+u(u-40)-2u(u-16)=0$

Som gir : $-64u+40\ast 16=0⟺u=10$

$u=x^2-10x-29=10⟺⟺x^2-10x-39=0$

Som med litt triksing gir oss :


$x^2-10x-39=x^2-13x+3x-39=x^2+3x-39-13x=x(x+3)-13(x+3)=(x+3)(x-13)$

Som gir $\boxed{{\displaystyle x=13}}$



7

$(\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})$

Bruker konjugatsetningen $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ og ender opp med:

$({(\sqrt{6}+\sqrt{7})}^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2)({\left(\sqrt{5}\right)}^2-{(\sqrt{6}-\sqrt{7})}^2)=(13+2\sqrt{42}-5)(5-(13-2\sqrt{32}))=(2\sqrt{42}+8)(2+\sqrt{42}-8)={\left(2\sqrt{42}\right)}^2-{\left(8\right)}^2=4\ast 42-64=104$

[Gustav]

6. $\frac{n^3+100}{n+10}=n^2-10n+100-\frac{900}{n+10}$, så n=890 er det største tallet slik at høyresida er et heltall.

Jepp, er det mulig å anvende den euklidske algortimen her?

Det er vel ekvivalent med det jeg har gjort hvis vi ganger hele likningen med n+10 ?

[Janhaa]

2:
Her kan vi bruke Sophie Germain identiteten.

$x^4+4y^4=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)$

på første uttrykk i teller har vi da:

${10}^4+324={10}^4+4\ast 3^4=({10}^2+2\ast 3^2+2\ast 10\ast 3)\ast ({10}^2+2\ast 3^2-2\ast 10\ast 3)=(100+18+60)(100+18-60)=178\ast 58$
.
.
.
tilsvarende for de andre:
på siste uttrykk i nevner har vi da:

${52}^4+324={52}^4+4\ast 3^4=({52}^2+2\ast 3^2+2\ast 52\ast 3)\ast ({52}^2+2\ast 3^2-2\ast 52\ast 3)=3034\ast 2410$

hvilket gir totalt uttrykket og brøken:

$\frac{178\ast 58\ast 634\ast 370\ast 1378\ast 970\ast 2410\ast 1858\ast 3730\ast 3034}{58\ast 10\ast 370\ast 178\ast 970\ast 634\ast 1858\ast 1378\ast 3034\ast 2410}=373$

hvordan har du løst den?

[Drezky]

hvordan har du løst den?

Brukte også at $a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$ =)

[Skogmus]

5:

$\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}\Rightarrow \sqrt[4]{x}(7-\sqrt[4]{x})=12\Rightarrow 0=(\sqrt[4]{x}{)}^2-7\sqrt[4]{x}+12$

Som med substitusjon $u=\sqrt[4]{x}$ blir $u^2-7u+12=0\Rightarrow u=3\vee u=4$

Dermed $\sqrt[4]{x}=3\vee \sqrt[4]{x}=4\Rightarrow x_1=3^4=81,x_2=4^4=256$

Summen av løsningene til likningene lik $x_1+x_2=81+256=337$

[Janhaa]

8:

$104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006=(a\ast \sqrt{2}+b\ast \sqrt{3}+c\ast \sqrt{5}{)}^2$

dette gir:
$ab=52$
$bc=72$
$ac=234$
slik at:
$abc=\sqrt{ab\cdot bc\cdot ac}=936$