Integral- R2

[Daggymatted]

Heisann!

Sitter fast på siste oppgave i kapittelet Integralet 1/x dx. Dette er oppgave 1.33 i sinus R2 boken og lyder som følger.

La x være et positivt tall.

a)Deriver utrykket: x*ln x-x

b) Finn det ubestemte integralet

(intergraltegn)ln x dx


Er selvfølgelig interessert i fremgangmåte her og ikke fasit (ettersom den står i boken altså)

[hco96]

Har du hatt om delvis integrasjon? Det må vi i hvertfall bruke her.
(det er et senere kapittel, så boka legger ikke opp til at man faktisk skal bruke det på denne opppgaven, målet er at fra a) så vet man hva den anti deriverte til [tex]lnx[/tex] er.)
sier vi at [tex]\int{lnx dx} = \int{1 \cdot lnx dx}[/tex], kan vi bruke delvis integrasjon og sette [tex]u=lnx \Rightarrow u' = \frac{1}{x}[/tex] og [tex]v'= 1 \Rightarrow v = \int{1 dx} = x[/tex]
Fra formelen for delvis integrasjon har vi: [tex]\int{u \cdot v' dx} = u \cdot v - \int{u' \cdot v dx}[/tex]
Dvs. [tex]xlnx - \int{\frac{1}{x} \cdot x dx} = xlnx - x + C[/tex]

[Daggymatted]

Takk for svar! Må innrømme at jeg sliter litt med å forstå, kanskje om oppgave a) hadde blitt forklart, ettersom det stopper allerede der.

[Daggymatted]

Forstod fremgangsmåten din på b) nå!

[hco96]

Såklart, jeg fikk for meg at du bare lurte på b)
Uansett, på a) har vi to ledd, da kan vi derivere leddvis, men det første leddet er et produkt. Da bruker vi produktregelen: [tex](u \cdot v)' = u' \cdot v + v' \cdot u[/tex]
Dvs. u= x og v = lnx (ikke bli forvirret over at jeg bruker samme bokstaver som i oppgave b) dette er to helt forskjellige oppgaver).
derav følger: [tex](x)' \cdot lnx + (lnx)' \cdot x = 1 \cdot lnx + \frac{1}{x} \cdot x = lnx + 1[/tex].

Hvis vi nå tar hele uttrykket får vi: [tex](xlnx)' - (x)' = lnx + 1 - 1 = lnx[/tex]. Nå vet vi at uttrykket vi startet med i a) er en antiderivert til lnx, hvilket vi skal bruke i oppgave b) , dersom vi ikke skal løse den ved "ordentlig" regning og bruke delvis integrasjon.

[Daggymatted]

Tusen Tusen takk!

Det hjalp, hadde delvis glemt produktregelen så med oppfrisket minne ble det veldig forståelig!