skalar

[mattenøtta]

vektorene a = [8,-3] og b = [1,5] spenner ut et parallellogram. finn arealet av parallellogrammet.

Jeg har funnet |a| = sqrt(73) og |b|= sqrt(26), men vet ikke hva jeg skal gjøre videre? Formelen for arealet av et parallellogram er jo g*h, som betyr at jeg må bruke skalarproduktet for å finne en vektor som står vinkelrett på en av grunnlinjene? Jeg skjønner bare ikke hvordan jeg skal gjøre dette, siden jeg får helt feil svar når jeg prøver.

[DennisChristensen]

vektorene a = [8,-3] og b = [1,5] spenner ut et parallellogram. finn arealet av parallellogrammet.

Jeg har funnet |a| = sqrt(73) og |b|= sqrt(26), men vet ikke hva jeg skal gjøre videre? Formelen for arealet av et parallellogram er jo g*h, som betyr at jeg må bruke skalarproduktet for å finne en vektor som står vinkelrett på en av grunnlinjene? Jeg skjønner bare ikke hvordan jeg skal gjøre dette, siden jeg får helt feil svar når jeg prøver.

Som sagt trenger vi å finne høyden $h$ av parallellogrammet. Nå, vinkelen $\theta$ mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ tilfredsstiller at $$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{8 - 15}{\sqrt{8^2 + (-3)^2}\sqrt{1^2 + 5^2}} = \frac{-7}{\sqrt{73\cdot 26}}= -\frac{7}{\sqrt{1898}}$$

Derfor har vi at $$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{49}{1898} = \frac{1849}{1898}.$$ Altså, $$\sin \theta = \frac{43}{\sqrt{1898}}.$$

Høyden $h$ er dermed (se tegningen) gitt ved $$h = |\vec{b}|\sin\theta = \sqrt{26}\cdot\frac{43}{\sqrt{1898}} = \frac{43}{\sqrt{73}},$$

Så arealet $A$ er gitt ved $$A = |\vec{a}|h = \sqrt{73}\cdot\frac{43}{\sqrt{73}} = 43.$$