Hvordan tenke under faktorisering?

[Bananiel]

Jeg er kjent med at det allerede finnes en tråd, (http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?p=83425) som tar opp samme spørsmål.

Men, jeg lurer på hvordan man skal tenke når man faktoriserer oppgaver som dette:

$\frac{1}{x}\cdot e^{2x}+ln(x)\cdot e^{2x}\cdot 2$

Ved hjelp av programmer så finner jeg ut at det blir faktorisert til $e^{2x}(\frac{1}{x}+2ln(x))$, og når jeg ser på det så gir det mening.
Men det jeg har problemer med er å få tenkt meg til frem til en måte å begynne å faktorisere uttrykk som dette. Jeg vet bare ikke hvor jeg skal
starte, det hele er mye mer komplekst enn bare kvadratsetningene for min del.

Selv om jeg tar et enklere uttrykk som:

$6x\cdot e^x+3x^2\cdot e^x$

Så mister jeg kontroll over hvordan jeg skal plassere $e^x$ når det skal faktoriseres.

Er det noen som kan vær så snill hjelpe meg med litt tankegang?

Takk på forhånd

[Guest]

felles faktor utenfor parentesen!!1

[Bananiel]

felles faktor utenfor parentesen!

Så siden $e^{2x}$ blir ganget med alle leddene, så gir det mulighet for å sette det utenfor? Men hva med 2 tallet, hvordan får vi vite at det er lov til å gjøre om $ln(x)\cdot 2=2ln(x)$?

Som jeg forstår det visuelt, altså det man skal se etter. Så ville det blitt noe som dette da:

$\frac{1}{x}\cdot e^{2x}+ln(x)\cdot e^{2x}\cdot 2$

[Guest]

felles faktor utenfor parentesen!

Så siden $e^{2x}$ blir ganget med alle leddene, så gir det mulighet for å sette det utenfor? Men hva med 2 tallet, hvordan får vi vite at det er lov til å gjøre om $ln(x)\cdot 2=2ln(x)$?

Som jeg forstår det visuelt, altså det man skal se etter. Så ville det blitt noe som dette da:

$\frac{1}{x}\cdot e^{2x}+ln(x)\cdot e^{2x}\cdot 2$

$a^x=x\ast ln(a)$

[Skogmus]

Det du ønsker å gjøre ved faktorisering er jo å forkorte/forenkle svaret ditt ved å samle felles faktorer. For uttrykket $\frac{1}{x}\cdot e^{2x}+ln(x)\cdot e^{2x}\cdot 2$, er $e^{2x}$ felles faktor (finnes i alle ledd), og vi kan trekke den utenfor parentes ettersom $a(b+c)=ab+ac$. Derfor er $\frac{1}{x}\cdot e^{2x}+ln(x)\cdot e^{2x}\cdot 2=e^{2x}(\frac{1}{x}+ln(x)\cdot 2)$. Nå kan vi bruke at multiplikasjon er kommutativ operasjon, hvilket betyr at $a\cdot b=b\cdot a$, slik at $e^{2x}(\frac{1}{x}+ln(x)\cdot 2)=e^{2x}(\frac{1}{x}+2ln(x))$

[Bananiel]

Så ved et uttrykk som dette:

$\frac{1}{x-3}\cdot (x-2{)}^3+ln(x-3)\cdot 3(x-2{)}^2$

Kan jeg finne felles faktor, noe som er $(x-2{)}^2$ i dette tilfellet?

Så plasserer jeg denne utenfor parentesen jeg bruker på resten av stykket:

$(x-2{)}^2(\frac{1}{x-3}\cdot (x-2)+ln(x-3)\cdot 3)$

Og med det du forteller om kommutative operasjoner vil det være mulig for meg å plassere $3$ inn i $ln(x-3)$?

Hvis så, vil jeg være nærmere med:

$(x-2{)}^2(\frac{1}{x-3}\cdot (x-2)+3ln(x-3))$

Men om så, kan jeg legge til $3$ tallet på noe annet ledd i det jeg har faktorisert meg til her istedet?