Oblig mat1110

[Gjest102]

Hei!

Jeg sliter med en oblig i Mat1110. Flere som jobber med samme oblig?

Noen som har forslag til løsning på følgende oppgave:

[DennisChristensen]

Hei!

Jeg sliter med en oblig i Mat1110. Flere som jobber med samme oblig?

Noen som har forslag til løsning på følgende oppgave:

(a) $$A_5 = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$$
Ved å skrive $$A_n = \left[\mathbf{a_1},\dots,\mathbf{a_n}\right],$$ der $\mathbf{a_1},\dots, \mathbf{a_n}$ er kolonnene til $A_n$, ser vi at $$\mathbf{a_1} + \dots + \mathbf{a_n} = \mathbf{0},$$ så kolonnene til $A_n$ er lineært avhengige. Dermed har vi at $\det A = 0$, som skjer hvis og bare hvis $A$ har $0$ som egenverdi.

Fra likningen over ser vi at $$\mathbf{v^0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}$$ duger som egenvektor.


(b) Vi har at $$A_n \mathbf{v^k} = \begin{pmatrix} w_1^k \\ w_2^k \\ \vdots \\ w_n^k\end{pmatrix},$$ der $$w_i^k = \begin{cases} -2v_1^k + v_2^k + v_n^k & \text{ hvis }i=1 \\ v_{i-1}^k - 2v_i^k + v_{i+1}^k & \text{ hvis }1 < i < n \\ v_1^k + v_{n-1}^k -2v_n^k & \text{ hvis }i = n\end{cases}.$$ For $1 < i < n$ ser vi at $$\begin{align*} w_i^k & = v_{i-1}^k - 2 v_i^k + v_{i+1}^k \\ & = \sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi (i-1)k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) - 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi (i+1)k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) \\ & = \sqrt{2}\left[\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 2\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right] \\ & = 2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]\sin\left(\frac{2\pi i k}{n} + \frac{\pi}{4}\right) \\ & = 2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]v_i^k. \end{align*}.$$

På likt vis kan man vise at $$w_1^k = 2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]v_1^k$$ og at $$w_n^k = 2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]v_n^k,$$ som bekrefter at $\mathbf{v^k}$ er en egenvektor til $A_n$, med $2\left[\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) - 1\right]$ som korresponderende egenverdi.

[Gjest102]

Tusen takk!

Har du forslag til løsning på denne også Dennis?

[DennisChristensen]

Tusen takk!

Har du forslag til løsning på denne også Dennis?

Det er jo meningen at denne innleveringen skal gjøres på egenhånd, så jeg synes det blir feil å gi flere komplette løsningsforslag. Ett hint: bruk av Lagrange-multiplikator. Når du har prøvd selv kan du eventuelt stille oppfølgingsspørsmål hvis du står fast senere.

[Guest]

Jeg kan hjelpe deg litt i gang selv om jeg er enig med Dennis her. Skulle ikke forundret meg om det var samme person som tilfeldigvis sto bak den samme tråden om oppgave 1.

Du ønsker å sette opp et ligningssystem. Først må du finne $\bigtriangledown f$ og $\bigtriangledown g$ hvor g er funksjonen gitt av bibetingelsen. For å finne dette kan du bruke $\bigtriangledown f(x,y,z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$ (samme for g)

Nå kan du bruke at $\bigtriangledown f = \lambda \bigtriangledown g$ til å sette opp 3 ligninger. Du har derimot 4 ukjente, så bruk bibetingelsen for fjerde ligning.

Nå er det bare å trikse og leke seg frem til rette verdier. Dette kan ta litt tid, og det kan hende du må gjøre noen lure overganger eller logiske resonnement. Husk å sjekke at det ikke eksisterer flere løsninger enn den du finner.

[Gjest102]

Hei!

Kommer frem til følgende likninger:
(1) 1=λ2x^2
(2) 1=λ2y^2
(3) 3=λ2z^2
(4) = x^2+y^2+z^2=5r^2

Har forsøkt å trikse litt og lurer på om x=1, y=1 og z=sqrt(3) muligens er en løsning?

[DennisChristensen]

Hei!

Kommer frem til følgende likninger:
(1) 1=λ2x^2
(2) 1=λ2y^2
(3) 3=λ2z^2
(4) = x^2+y^2+z^2=5r^2

Har forsøkt å trikse litt og lurer på om x=1, y=1 og z=sqrt(3) muligens er en løsning?

Nei, dette stemmer ikke. Merk deg at $x^2 + y^2 + z^2 = 5r^2$ ikke nødvendigvis er oppfylt. Du er riktignok veldig nærme det riktige svaret. Gjør du det riktig skal du få $x = y = r$ og $z = \sqrt{3}r$.

[madde1]

kunne noen hjulpet meg med oppgave b?

[Guest]

Hi!

Lurer på om noen har vist ulikheten abc^3<= 27((a+b+c)/5)^5?

Jeg skjønner at log(abc^3)<=log(27((a+b+c)/5)^5) blir log(a)+log(b)+3log(c) som ligner med funksjonen f(x,y,z)=log(x)+log(y)+3log(z).

noen tips?

Takk!

[DennisChristensen]

Hi!

Lurer på om noen har vist ulikheten abc^3<= 27((a+b+c)/5)^5?

Jeg skjønner at log(abc^3)<=log(27((a+b+c)/5)^5) blir log(a)+log(b)+3log(c) som ligner med funksjonen f(x,y,z)=log(x)+log(y)+3log(z).

noen tips?

Takk!

Vi vet at for alle $x,y,z > 0$ hvor $x^2 + y^2 + z^2 = 5r^2$ har vi at $$\log(x) + \log(y) + 3\log(z) \leq \log(r) + \log(r) + 3\log(\sqrt{3}r) = 2\log(r) + 3\log(\sqrt{3}r).$$ Dermed ser vi at for alle slike $x,y,z$ har vi at $$\exp\left[\log(x) + \log(y) + 3\log(z)\right] \leq \exp\left[2\log(r) + 3\log(\sqrt{3}r)\right].$$ $$\therefore xyz^3 \leq r^2\left(\sqrt{3}r\right)^3 = \sqrt{27} r^5 = \sqrt{27}\left(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{5}\right)^{\frac{5}{2}}.$$ Siden begge sider er positive kan vi opphøye alt i annen og konkludere med at $$(x^2)(y^2)(z^2)^3 \leq 27\left(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{5}\right)^5.$$ Nå, gitt tre positivite tall $a,b,c$ velger vi å sette $x= \sqrt{a}, y= \sqrt{b}, z=\sqrt{c}$. Da er $x,y,z > 0$, så ulikheten ovenfor gjelder. Altså, $$abc^3 \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5.$$

[Gjest28]

Hei! Jeg sitter fast på oppgave 2b og forstår ikke helt løsningsforslaget ditt Dennis. Hvordan kommer jeg meg frem til at wi^k er de tre ulike ligningene som du har skrevet opp ?
Håper noen kan hjelpe meg!

[DennisChristensen]

Hei! Jeg sitter fast på oppgave 2b og forstår ikke helt løsningsforslaget ditt Dennis. Hvordan kommer jeg meg frem til at wi^k er de tre ulike ligningene som du har skrevet opp ?
Håper noen kan hjelpe meg!

Fra hvordan $A_5$ ser ut kan du få en rimelig god forståelse av hvordan $A_n$ ser ut for større verdier for $n$. Likningene er et resultat av det faktum at $A_n\mathbb{v}^k = \mathbb{w}^k$. Se på den første koeffisienten i vektoren $\mathbb{w}^k$ først (som jeg har kalt $w_1^k$. Vi vet at første rad i $A_n$ tar formen $(-2, 1, 0, \dots, 0, 1)$ så når vi multipliserer $A_n$ med $\mathbb{v}^k$ får vi $$w_1^k = -2v_1^k + 1\cdot v_2^k + 0\cdot v_3^k + \dots + 0\cdot v_{n-1}^k + 1\cdot v_n^k = -2v_1^k + v_2^k + v_n^k.$$ På likt vis finner vi likningene for de andre koeffisientene. Om du fremdeles synes det er vrient å se kan kan det være lurt å repetere hvordan matrisemultiplikasjon er definert, og kanskje undersøke spesialtilfellet $n=5$ nærmere.

[gjest47]

Hei, jeg har forsøkt å bevise at uttrykket for i=1 og for i=n, men får det aldri til å stemme slik som det gjør i tilfellene hvor [tex]1\leq i\leq n[/tex]. Kunne du skrevet opp beviset for de også?

Hei! Jeg sitter fast på oppgave 2b og forstår ikke helt løsningsforslaget ditt Dennis. Hvordan kommer jeg meg frem til at wi^k er de tre ulike ligningene som du har skrevet opp ?
Håper noen kan hjelpe meg!

Fra hvordan $A_5$ ser ut kan du få en rimelig god forståelse av hvordan $A_n$ ser ut for større verdier for $n$. Likningene er et resultat av det faktum at $A_n\mathbb{v}^k = \mathbb{w}^k$. Se på den første koeffisienten i vektoren $\mathbb{w}^k$ først (som jeg har kalt $w_1^k$. Vi vet at første rad i $A_n$ tar formen $(-2, 1, 0, \dots, 0, 1)$ så når vi multipliserer $A_n$ med $\mathbb{v}^k$ får vi $$w_1^k = -2v_1^k + 1\cdot v_2^k + 0\cdot v_3^k + \dots + 0\cdot v_{n-1}^k + 1\cdot v_n^k = -2v_1^k + v_2^k + v_n^k.$$ På likt vis finner vi likningene for de andre koeffisientene. Om du fremdeles synes det er vrient å se kan kan det være lurt å repetere hvordan matrisemultiplikasjon er definert, og kanskje undersøke spesialtilfellet $n=5$ nærmere.

[Gninne]

Du bør sjekke de to andre indeksene du sjekker for. Se på hvilke n matrisen er definert for. Da vil du nok finne noen andre indekser som bør gjøre det litt lettere.

[Hurtigtoget]

Jeg forstår bruken av sin(u+v) = sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) på 1<i<n men jeg får det ikke til å gå opp på i=1 eller i=n med samme framgangsmåte