Jeg forstår at [tex]2x(1-x)e^{1-x^2}[/tex], kan se litt komplisert ut til å starte med, sammenlignet med polynomer som er faktorisert opp i lineære faktorer, likt det eksempelet du beskriver.
Det handler egentlig bare om å se at uttrykket [tex]2x(1-x^2)e^{1-x^2}[/tex], er tre faktorer [tex]a, b[/tex] og [tex]c[/tex] multiplisert med hverandre. Som jeg forklarte tidligere vil man finne ut for hvilke verdier av [tex]x, f'(x) = 0[/tex].
Vi må med andre ord finne ut når [tex]a * b * c = 0[/tex]. Som du sikkert vet selv, vil dette uttrykket stemme når en av faktorene tilsvarer null. Vi ser her at [tex]a = 2x[/tex], [tex]b = 1-x^2[/tex] og [tex]c = e^{1-x^2}[/tex].
For å finne nullpunktene er setter man bare faktorene lik null, og ser om man finner en løsning med reelle tall.
[tex]a = 0[/tex]
[tex]2x = 0[/tex]
[tex]x = 0[/tex]
[tex]b = 0[/tex]
[tex]1-x^2 = 0[/tex]
[tex]x = \pm{1}[/tex]
[tex]c = 0[/tex]
[tex]e^{1-x^2} = 0[/tex]
Da [tex]e^x[/tex] ikke har noen verdier for x, der [tex]e^x = 0[/tex], vil heller ikke uttrykket for faktoren c ha noen verdier lik null.
Vi har nå nullpunktene [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = -1[/tex].
Deretter kan vi bruke fortegnsskjema for å finne monotoniegenskapene til f, altså fortegnet på stigningstallet til tangenten i et bestemt punkt. I motsetning til Fysikkmann97, vil jeg ha med [tex]e^{1-x^2}[/tex] i fortegnsskjema mitt, da det fortsatt er en faktor av [tex]f'(x)[/tex], selv om den ikke gir et nullpunkt. Det er viktig å bemerke seg at om en tar med denne i fortegnsskjema eller ikke, kommer svaret til å bli det samme da dette uttrykket alltid har positivt fortegn. Ser ved fortegnsskjema hvor toppunkt og bunnpunkt er (se vedlegg for fortegnsskjema).
R1 eksamen våren 2016, oppg. 3
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Uenig. Fra tredje kvadratsetning har vi jo at [tex](1-x^2)=(1+x)(1-x)[/tex]Kay wrote:Fysikkmann97 wrote:$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.
Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$
Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.
Du mener vel [tex]2x(1-x^2)=-2x(1+x)(1-x)[/tex]?
[tex]2x(1-x^2)[/tex] må derfor være [tex]2x(1+x)(1-x)[/tex]
Det var sinnsykt teit av meg å anta det, var det jeg tenkte i utgangspunktet, så kjørte jeg deg inn i wolfram fordi jeg ikke trodde mine egne øyne, [tex]-2x(x+1)(x-1)[/tex] var det jeg leste, så må ha feillest det som [tex]-2x(1-x)(1+x)[/tex] må visst være slitenEclipse wrote:Uenig. Fra tredje kvadratsetning har vi jo at [tex](1-x^2)=(1+x)(1-x)[/tex]Kay wrote:Fysikkmann97 wrote:$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.
Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$
Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.
Du mener vel [tex]2x(1-x^2)=-2x(1+x)(1-x)[/tex]?
[tex]2x(1-x^2)[/tex] må derfor være [tex]2x(1+x)(1-x)[/tex]
mattemarkus wrote:Jeg forstår at [tex]2x(1-x)e^{1-x^2}[/tex], kan se litt komplisert ut til å starte med, sammenlignet med polynomer som er faktorisert opp i lineære faktorer, likt det eksempelet du beskriver.
Det handler egentlig bare om å se at uttrykket [tex]2x(1-x^2)e^{1-x^2}[/tex], er tre faktorer [tex]a, b[/tex] og [tex]c[/tex] multiplisert med hverandre. Som jeg forklarte tidligere vil man finne ut for hvilke verdier av [tex]x, f'(x) = 0[/tex].
Vi må med andre ord finne ut når [tex]a * b * c = 0[/tex]. Som du sikkert vet selv, vil dette uttrykket stemme når en av faktorene tilsvarer null. Vi ser her at [tex]a = 2x[/tex], [tex]b = 1-x^2[/tex] og [tex]c = e^{1-x^2}[/tex].
For å finne nullpunktene er setter man bare faktorene lik null, og ser om man finner en løsning med reelle tall.
[tex]a = 0[/tex]
[tex]2x = 0[/tex]
[tex]x = 0[/tex]
[tex]b = 0[/tex]
[tex]1-x^2 = 0[/tex]
[tex]x = \pm{1}[/tex]
[tex]c = 0[/tex]
[tex]e^{1-x^2} = 0[/tex]
Da [tex]e^x[/tex] ikke har noen verdier for x, der [tex]e^x = 0[/tex], vil heller ikke uttrykket for faktoren c ha noen verdier lik null.
Vi har nå nullpunktene [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{-1} = 0[/tex].
Deretter kan vi bruke fortegnsskjema for å finne monotoniegenskapene til f, altså fortegnet på stigningstallet til tangenten i et bestemt punkt. I motsetning til Fysikkmann97, vil jeg ha med [tex]e^{1-x^2}[/tex] i fortegnsskjema mitt, da det fortsatt er en faktor av [tex]f'(x)[/tex], selv om den ikke gir et nullpunkt. Det er viktig å bemerke seg at om en tar med denne i fortegnsskjema eller ikke, kommer svaret til å bli det samme da dette uttrykket alltid har positivt fortegn. Ser ved fortegnsskjema hvor toppunkt og bunnpunkt er (se vedlegg for fortegnsskjema).
Tusen takk Markus!! Dette var strålende gjennomgang
“I love the man that can smile in trouble, that can gather strength from distress, and grow brave by reflection.” - Thomas Paine
Det var da så lite! Det er slik vi blir bedre i matte - av å hjelpe hverandre. Jeg ser imidlertid en liten feil i det jeg skrev. Jeg skrev at vi har nullpunktene [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{-1} = 0[/tex]. Dette skal selvfølgelig være [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = -1[/tex]. Dette er dog kun en skriveleif, ser man i fortegnsskjema så er alle verdier korrekte.Bananiel wrote:mattemarkus wrote:
Tusen takk Markus!! Dette var strålende gjennomgang
-
Fysikkmann97
- Lagrange
- Posts: 1258
- Joined: 23/04-2015 23:19
Nei, hvor kommer minustegnet fra?Kay wrote:Fysikkmann97 wrote:$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.
Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$
Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.
Du mener vel [tex]2x(1-x^2)=-2x(1+x)(1-x)[/tex]?