Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Moderatorer: Vektormannen , espen180 , Aleks855 , Solar Plexsus , Gustav , Nebuchadnezzar , Janhaa
Gjesten
16/03-2006 21:42
Bevis for alle n [tex] \epsilon [/tex] [tex]\mathcal{Z}[/tex][sup]+[/sup], n>3 [tex] \rightarrow [/tex] 2[sup]n[/sup] < n!
Hadde vært flotters om noen kunne hjulpet meg med denne, gjerne med en forklaring ved siden av
På forhånd takk:)
Cauchy
Guru
Innlegg: 359 Registrert: 20/01-2005 11:22
16/03-2006 22:16
Mulig med induksjon?
Opplagt OK for n=4.
Anta så ok for n=k, vil vise at da ok for n=k+1
Vi har
2[sup]k[/sup]<k!
Ganger begge sider med (k+1), (k+1)>0, og får
2[sup]k[/sup](k+1)<(k+1)!
Men klart at k+1>=5, fordi minste tall det gjaldt for var k=4. da har vi
2[sup]k[/sup]*2=2[sup]k+1[/sup]<2[sup]k[/sup](k+1)<(k+1)!
Solar Plexsus
Over-Guru
Innlegg: 1685 Registrert: 03/10-2005 12:09
16/03-2006 22:25
For n > 3 er
2[sup]n[/sup]/n! = [(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)]*(2/5)*...*(2/n) = (2/3)*[(2/5)*...*(2/n)] < 1,
som gir 2[sup]n[/sup] < n! for n > 3.
Gjesten
16/03-2006 22:43
Hei!
Takk for svaret:) Glemte å si at oppgaven skulle løses med induksjon, men ser du har gjort det:)
Gjest
17/03-2006 11:04
Solar Plexsus skrev: For n > 3 er
2[sup]n[/sup]/n! = [(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)]*(2/5)*...*(2/n) = (2/3)*[(2/5)*...*(2/n)] < 1,
som gir 2[sup]n[/sup] < n! for n > 3.
Hmm, skjønte ikke helt det du har gjort ovenfor
Solar Plexsus
Over-Guru
Innlegg: 1685 Registrert: 03/10-2005 12:09
19/03-2006 18:15
Poenget er at både 2[sup]n[/sup] og n! kan uttrykkes som et produkt av n faktorer:
[tex]2^n = \underbrace{2 \cdot 2 \cdots 2}_{n \mbox{ganger}} \mbox{ og } n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n - 1) \cdot n [/tex]
Dermed blir
[tex] \frac{2^n}{n!} \; = \; \frac{2 \cdot 2 \cdots 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n - 1) \cdot n} \; = \; \frac{2}{1} \; \cdot \; \frac{2}{2} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; \cdots \; \frac{2}{n-1} \; \cdot \; \frac{2}{n} [/tex].
Dette betyr at når n > 4, får vi at
(1) [tex] \frac{2^n}{n!} \; = \; \Big( \frac{2}{1} \; \cdot \; \frac{2}{2} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; \cdot \; \frac{2}{4} \Big) \cdot \Big( \frac{2}{5} \; \cdots \; \frac{2}{n} \Big) [/tex].
Det innenfor den første parantesen i (1) blir 16/24 = 2/3 mens det innenfor den andre parantesen er et produkt av brøker som alle er mindre enn 1, så produktet av dem må også bli mindre enn 1. Dermed kan vi konkudere med at
[tex] \frac{2^n}{n!} \; \leq \; \frac{2}{3} \cdot 1 \; < \; 1. [/tex]