FØLGER

[Effigy]

Jeg har et par oppgaver om følger jeg lurer på, i 1-3 skal man spesifisere om følgen er
a) bounded (above or below)
b) positive or negative
c) increasing, decreasing or alternating
d) convergent, diverent, divergent to [symbol:uendelig] or - [symbol:uendelig]

1) {2n[sup]2[/sup]/(n[sup]2[/sup]+1)}

Her har jeg funnet ut at den er positiv og increasing, finnes det noen måte å finne ut de to andre på, ved å sette inn tall ser jeg at den går mot 2, men er det noen måte ala L'Hôptials-regel for følger/rekker?

2){4 - ((-1)[sup]2[/sup]/n)}

3) {n*cos(n[symbol:pi]/2)}

Og så en til, hvor man skal evaluere grensen
lim[sub]n-> [symbol:uendelig] [/sub] [symbol:rot](n-1) - [symbol:rot]n

Finnes det noen teoremer for å løse slike oppgaver, eller må man bare prøve å sette inn tall for å se?

[Solar Plexsus]

1) lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] 2n[sup]2[/sup]/(n[sup]2[/sup] + 1) = lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] 2/(1 + n[sup]-2[/sup]) = 2/(1 + 0) = 2/1 = 2.

2) Skal det ikke være {4 - (-1)[sup]n[/sup]/n}, ikke {4 - (-1)[sup]2[/sup]/n} = {4 - 1/n} (som er en veldig enkel følge å karakterisere iht. til punktene a-d) ?

3) La a[sub]n[/sub] = n*cos(n[symbol:pi]/2). Nå er cos(n[symbol:pi]/2)=0 når n er et oddetall og cos(n[symbol:pi]/2) = (-1)[sup]n/2[/sup] når n er et partall. Altså er a[sub]2n+1[/sub] = 0 og a[sub]2n[/sub] = 2n*(-1)[sup]n[/sup].

4) lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] kv.rot(n - 1) - kv.rot(n)
= lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] [kv.rot(n - 1) - kv.rot(n)] * [kv.rot(n - 1) + kv.rot(n)] / [kv.rot(n - 1) + kv.rot(n)]
= lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] [(n - 1) - n] / [kv.rot(n - 1) + kv.rot(n)]

= lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] -1 / [kv.rot(n - 1) + kv.rot(n)]
= 1/ [symbol:uendelig]
= 0.

[Effigy]

Jo, det skal jo være {4 - ((-1)[sup]n[/sup]/n)}, beklager den. Takk for hjelpa så langt.

[Solar Plexsus]

Legg merke til at (-1)[sup]2n[/sup] = ((-1)[sup]2[/sup])[sup]n[/sup] = 1[sup]n[/sup] = 1 og (-1)[sup]2n+1[/sup] = (-1)[sup]2n[/sup]*(-1) = 1*(-1) = -1. Dette innebærer at hvis a[sub]n[/sub] = 4 - (-1)[sup]n[/sup]/n, så blir

a[sub]2n[/sub] = 4 - 1/(2n),

a[sub]2n+1[/sub] = 4 + 1/(2n + 1).

PS. Har rettet opp en liten feil i mitt forrige innlegg. I 3) skrev jeg at a[sub]2n[/sub] = 2n*(-1)[sup]n/2[/sup], det skal (som jeg nå har rettet det til) være a[sub]2n[/sub] = 2n*(-1)[sup]n[/sup].

[Effigy]

Skjønner ikke helt hva man så skal gjøre på 2).

[Solar Plexsus]

Legg merke til at │a[sub]n[/sub] - 4 │ = 1/n avtar når n øker. Dessuten er a[sub]n[/sub] < 4 når n er et partall og a[sub]n[/sub] > 4 når n er et oddetall. Dermed kan vi konkludere med følgende:

a) a[sub]2[/sub] ≤ a[sub]n[/sub] ≤ a[sub]1[/sub], dvs. at 3 ≤ a[sub]n[/sub] ≤ 5.

b) a[sub]n[/sub] > 0 (se oppgave a).

c) Følgen alternerer.

d) lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] a[sub]n[/sub] = 4.

[Effigy]

Jeg er ikke helt med på hvordan du får n[sup]-2[/sup] under brøkstreken på a), og ikke helt med på c).

Har nå kommet borti denne oppgaven:

[symbol:sum][sub]n=2[/sub][sup][symbol:uendelig][/sup] (-5)[sup]n[/sup]/8[sup]2n[/sup].

Prøvde å se etter en k slik at jeg kunne bruke en enkel summeformel for en geometrisk rekke, men det var ikke så greit. Så jeg vet ikke helt hvordan jeg skal angripe den der.
8[sup]2n[/sup] = (8[sup]2[/sup])[sup]n[/sup] = 64[sup]n[/sup] ?
-> (-5/64)[sup]n[/sup] ?

[Solar Plexsus]

* 2n[sup]2[/sup]/(n[sup]2[/sup] +1) (ganger med n[sup]-2[/sup] i teller og nevner)
= 2/(1 + n[sup]-2[/sup]).

* Når det gjelder følgen {4 - (-1)[sup]n[/sup]/n}, alternerer a[sub]n[/sub] mellom tall større og mindre enn 4. Men dette er kanskje ikke den definisjonen du har av alternerende følge.
En alternerende rekke er en uendelig rekke av formen Σ n≥1 (-1)[sup]n[/sup]a[sub]n[/sub] der a[sub]n[/sub] > 0 for alle n ≥ 1. Ut fra denne definisjonen kan det være rimelig å anta at en alternerende følge {a[sub]n[/sub]} der a[sub]n[/sub] og a[sub]n+1[/sub] har motsatt fortegn for alle n. M.a.o. at {a[sub]n[/sub]} alternerer rundt 0. Dersom dette stemmer overens med "din" definisjon av en alternerende følge, er følgen {4 - (-1)[sup]n[/sup]/n} ikke alternerende (eller avtagende eller tiltagende for den saks skyld).

* Du har tenkt helt riktig! Du får en uendelig geometrisk rekke med kvotient k = -5/64. I.o.m. at │k│ < 1, blir

Σ [sub]n≥2[/sub] k[sup]n[/sup]
= k[sup]2[/sup]*Σ [sub]n≥0[/sub] k[sup]n[/sup]
= k[sup]2[/sup]/(1 - k)
= (-5/64)[sup]2[/sup] / [1 - (-5/64)]
= (25/4096) / (69/64)
= 25/(69*64)
= 25/4416.

[Effigy]

Hm, den summeformelen din, er den utledet fra den generelle S[sub]n[/sub]= a[sub]1[/sub] (k[sup]n[/sup]-1)/(k-1) ? Kan jeg bruke den og bare trekke fra summen for det første leddet (siden jeg skal summere fra og med n=2)?

Når det gjelder de alternerende rekkene/følgene har jeg ikke en definisjon enda, foreleseren har bare såvidt nevnt at en følge kan være alternerende.

[Solar Plexsus]

Du har rett i at den er utledet av formelen for summen av en geometrisk rekke

[tex]S_n \; = \; \sum_{i=0}^{n-1} a_1 \cdot k^i \; = \; a_1 \; \frac{k^n - 1}{k - 1}. [/tex]

Anta i fortsettelsen at │k│ < 1. Denne antagelsen medfører at lim[sub]n-> [symbol:uendelig] [/sub] k^n = 0, så

[tex]lim_{n\rightarrow \infty} \: S_n \; = \; \frac{a_1}{1 - k}.[/tex]

Dermed blir

[tex]\sum_{i=m}^{\infty} a_1 \cdot k^i \; = \; k^m \sum_{i=m}^{\infty} a_1 \cdot k^{i - m} \; = \; k^m \sum_{j=0}^{\infty} a_1 \cdot k^j \; = \; \frac{a_1 \cdot k^m}{1 - k}.[/tex]

[Effigy]

OK, det var litt over mitt nivå, så jeg tok den med den summeformlen jeg kjenner og trakk fra S[sub]1[/sub].

Nå som jeg har en så fin og ryddig tråd følger jeg bare opp her (og prøver meg litt på Latex).


[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac {3+2^n}{2^n+2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {3+2^n}{4+2^n} ?[/tex]

Er k=2?

[Solar Plexsus]

For det første kan ikke

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3}{2^n + 2} \; = \; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3}{2^n + 4}[/tex]

ettersom

[tex] \frac{2^n + 3}{2^n + 2} \; > \; \frac{2^n + 3}{2^n + 4} [/tex]

for alle n ≥ 1. Dessuten er

[tex]\frac{2^n + 3}{2^n + 4} \; \geq \; \frac{5}{6}[/tex]

som innebærer begge de to rekkene divergerer.

Når du spør om k=2, tolker jeg det dithen at du lurer på om noen av disse to rekkene er geometriske. Svaret er nei fordi har du en rekke [symbol:sum][sub]n≥1 [/sub]a[sub]n[/sub] der a[sub]2[/sub]/a[sub]1[/sub] [symbol:ikke_lik] a[sub]3[/sub]/a[sub]2[/sub], kan ikke dette være en geometrisk rekke.

[Effigy]

Ser jeg har gjort en avgjørende bom da jeg prøvde meg på Latex, skal være:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac {3+2^n}{2^{n+2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {3+2^n}{4+2^n} ?[/tex]

Er k=2?
Blir vel ikke k=2, men jeg vet ikke hvordan jeg ellers skal se på den.

[Solar Plexsus]

Nå blir 2[sup]n+2[/sup] = 2[sup]2[/sup]*2[sup]n[/sup] = 4*2[sup]n[/sup] (ikke 2[sup]n+2[/sup] = 4 + 2[sup]n[/sup] som du skriver). Dermed blir

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 + 2^n}{2^{n+2}} \; = \; \sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{3 + 2^n}{4*2^n} \; = \; \sum_{n=1}^{\infty} \: \Big[ \frac{3}{4} \: (\frac{1}{2})^n \: + \: \frac{1}{4} \: \Big] \; = \; \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \: (\frac{1}{2})^n \: + \: \sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{1}{4}. [/tex]

Vi ser at den begge rekkene er geometriske, men den første er konvergent med kvotient k=1/2 mens den andre er divergent med kvotient k=1.

[Effigy]

3) La a[sub]n[/sub] = n*cos(n[symbol:pi]/2). Nå er cos(n[symbol:pi]/2)=0 når n er et oddetall og cos(n[symbol:pi]/2) = (-1)[sup]n/2[/sup] når n er et partall. Altså er a[sub]2n+1[/sub] = 0 og a[sub]2n[/sub] = 2n*(-1)[sup]n[/sup].

Jeg har prøvd å forstå denne en stund nå, men neida.
Jeg skjønner den for oddetall. Skjønner at cos-verdien vil alternere mellom -1 og 1 for partall, men ikke hvordan du kommer frem til de uttrykkene.