Lineær algebra

[stensrud]

Hei, jeg har følgende oppgave i boka jeg leser:

Suppose that $m<n$ and that $y_1,y_2,\dots ,y_m$ are linear functionals on an $n$-dimensional vector space $V$. Under what conditions on the scalars $a_1,a_2,\dots ,a_m$ is it true that there exists a vector $x\in V$such that $[x,y_j]=a_j$ for $j=1,2,\dots ,m$?

Hva er et greit svar på dette spørsmålet? Det blir jo det samme som å løse $m$ lineære likninger i $n$ variabler, og likningene kan jo være motsigende på alle mulige måter. Hvordan utelukker man de tilfellene mens man beholder de som faktisk kan løses?

[Gustav]

Kan du utdype notasjonen $[x,y_j]$?

[stensrud]

Kan du utdype notasjonen $[x,y_j]$?

Det står for $y_i(x)$, altså verdien funksjonalen $y_i$ tar ved vektoren $x$.

[Gustav]

Det er vel naturlig å gå via basiser for $V$ og det duale rommet $V^{\ast }$:

Hvis $\{e_i{\}}_{i=1,2,\cdots ,n}$ er en basis for $V$, og $\{e_i^{\ast }{\}}_{i=1,2,\cdots ,n}$ er en basis for $V^{\ast }$ så kan vi skrive

$x=\sum _{i=1}^n{b}_i{e}_i$ og $y_j=\sum _{i=1}^n{c}_i^j{e}_i^{\ast }$, der $[e_i,e_j^{\ast }]={\delta }_{ij}$ er Kronecker deltafunksjonen.

Lineariteten gir da at betingelsen blir $[x,y_j]=\sum _{i=1}^n[b_i{e}_i,c_i^j{e}_i^{\ast }]=\sum _{i=1}^n{b}_i{c}_i^j=a_j$ for $j=1,2,...,m$, så betingelsene på $a_j$-ene er at det må eksistere $b_i$-er slik at disse m likningene er tilfredsstilt.

Man kan jo betrakte dette geometrisk hvis koeffisientene betraktes som reelle tall: Gitt m n-dimensjonale vektorer $c^j$ og m reelle tall $a_j$. Fins det da en n-dimensjonal vektor b slik at skalarproduktet mellom b og $c^j$ er lik $a_j$ for alle j=1,2,...,m ?

[stensrud]

Det er vel naturlig å gå via basiser for $V$ og det duale rommet $V^{\ast }$:

Hvis $\{e_i{\}}_{i=1,2,\cdots ,n}$ er en basis for $V$, og $\{e_i^{\ast }{\}}_{i=1,2,\cdots ,n}$ er en basis for $V^{\ast }$ så kan vi skrive

$x=\sum _{i=1}^n{b}_i{e}_i$ og $y_j=\sum _{i=1}^n{c}_i^j{e}_i^{\ast }$, der $[e_i,e_j^{\ast }]={\delta }_{ij}$ er Kronecker deltafunksjonen.

Lineariteten gir da at betingelsen blir $[x,y_j]=\sum _{i=1}^n[b_i{e}_i,c_i^j{e}_i^{\ast }]=\sum _{i=1}^n{b}_i{c}_i^j=a_j$ for $j=1,2,...,m$, så betingelsene på $a_j$-ene er at det må eksistere $b_i$-er slik at disse m likningene er tilfredsstilt.

Man kan jo betrakte dette geometrisk hvis koeffisientene betraktes som reelle tall: Gitt m n-dimensjonale vektorer $c^j$ og m reelle tall $a_j$. Fins det da en n-dimensjonal vektor b slik at skalarproduktet mellom b og $c^j$ er lik $a_j$ for alle j=1,2,...,m ?

Takk for svar. Jeg fikk samme type svar selv, men syntes det var litt lite tilfredsstillende: Med tanke på at $x$ er lik $(b_1,b_2,\dots ,b_m)$ med valget av basisen, så er jo betingelsen "det finnes $\{b_i\}$ slik at..." omtrent det samme som "det finnes en $x$ slik at..." - men det var jo akkurat det vi skulle vise! Som du viser så er det jo riktig, så jeg kan ikke se for meg noe annet svar.

[jhoe06]

Kanskje er dette et mer tilfredsstillende svar:

Om vi ser på $y_j$ som lineærfunksjonaler og $x$ som en vektor eller $y_j$ som vektorer og $x$ som en lineærfunksjonal er vilkårlig siden $V$ er endeligdimensjonalt (og vi da har en naturlig isomorfi $V^{\ast \ast }\cong V$). Derfor er det klart at dette alltid er mulig når $y_1,\dots ,y_m$ er lineært uavhengige.

Om $y_1,\dots ,y_m$ ikke er lineært uavhengige så utspenner de et vektorrom $U\subset V$ av dimensjon $k<m$, og WLOG er $y_1,\dots ,y_k$ en basis for dette vektorrommet. Da er en lineærfunksjonal $x$ som beskrevet definert på $U$ av $[x,y_j]=a_j$ for $0\le j\le k$. Så kriteriet på $a_j$ blir at denne konstruksjonen av $x$ er konsistent med $a_j$ også for $k+1\le j\le m$. Eksplisitt betyr dette at for enhver relasjon $c_1{y}_1+\cdots +c_k{y}_k=y_j$ for $k+1\le j\le m$ så vil $c_1{a}_1+\cdots +c_k{a}_k=a_j.$

[stensrud]

Kanskje er dette et mer tilfredsstillende svar:

Om vi ser på $y_j$ som lineærfunksjonaler og $x$ som en vektor eller $y_j$ som vektorer og $x$ som en lineærfunksjonal er vilkårlig siden $V$ er endeligdimensjonalt (og vi da har en naturlig isomorfi $V^{\ast \ast }\cong V$). Derfor er det klart at dette alltid er mulig når $y_1,\dots ,y_m$ er lineært uavhengige.

Om $y_1,\dots ,y_m$ ikke er lineært uavhengige så utspenner de et vektorrom $U\subset V$ av dimensjon $k<m$, og WLOG er $y_1,\dots ,y_k$ en basis for dette vektorrommet. Da er en lineærfunksjonal $x$ som beskrevet definert på $U$ av $[x,y_j]=a_j$ for $0\le j\le k$. Så kriteriet på $a_j$ blir at denne konstruksjonen av $x$ er konsistent med $a_j$ også for $k+1\le j\le m$. Eksplisitt betyr dette at for enhver relasjon $c_1{y}_1+\cdots +c_k{y}_k=y_j$ for $k+1\le j\le m$ så vil $c_1{a}_1+\cdots +c_k{a}_k=a_j.$

Takk for svar; jeg synes dette er en litt enklere måte å tenke på det på. Brukes beskrivelsene naturlig og kanonisk isomorfi om hverandre?

[jhoe06]

Takk for svar; jeg synes dette er en litt enklere måte å tenke på det på. Brukes beskrivelsene naturlig og kanonisk isomorfi om hverandre?

I praksis, ja. Men naturlig isomorfi har faktisk en presis betydning, som en isomorfi av funktorer. Kanonisk brukes ofte når det finnes en "åpenbar" måte å gjøre ting på, uten at man vil spesifisere noe mer.