Dihedral gruppe

[stensrud]

La $D_n$ være den dihedrale gruppen av orden $2n$. Én måte å definere den på er å si at
\[ D_{n}\stackrel{\rm{def}}{=}\langle r,s\mid r^n=s^2=1,rs=sr^{-1} \rangle, \]
og da blir $D_2$ isomorf med $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$. Samtidig så sier man jo at en ekvivalent definisjon er at $D_n$ er gruppen av symmetriene til en regulær $n$-gon: Men for en $2$-gon så er jo en rotasjon ekvivalent med en speiling, slik at dens symmetrigruppe kun får to elementer.

Får man denne motsigelsen fordi en $2$-gon egentlig har to ulike kanter (mellom de samme hjørnene)? I det tilfellet vil jo symmetrigruppen ha orden $4$. Og forresten, kan dette sees i sammenheng med at $D_n$ ikke isomorf til en undergruppe av $S_{n}$ når $n=2$? Når vi betrakter $D_2$ så er det jo tydeligvis ikke nok å holde styr på kun plasseringen til hjørnene og se på elementene i gruppa som permutasjoner av hjørnene.

[DennisChristensen]

La $D_n$ være den dihedrale gruppen av orden $2n$. Én måte å definere den på er å si at
\[ D_{n}\stackrel{\rm{def}}{=}\langle r,s\mid r^n=s^2=1,rs=sr^{-1} \rangle, \]
og da blir $D_2$ isomorf med $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$. Samtidig så sier man jo at en ekvivalent definisjon er at $D_n$ er gruppen av symmetriene til en regulær $n$-gon: Men for en $2$-gon så er jo en rotasjon ekvivalent med en speiling, slik at dens symmetrigruppe kun får to elementer.

Får man denne motsigelsen fordi en $2$-gon egentlig har to ulike kanter (mellom de samme hjørnene)? I det tilfellet vil jo symmetrigruppen ha orden $4$. Og forresten, kan dette sees i sammenheng med at $D_n$ ikke isomorf til en undergruppe av $S_{n}$ når $n=2$? Når vi betrakter $D_2$ så er det jo tydeligvis ikke nok å holde styr på kun plasseringen til hjørnene og se på elementene i gruppa som permutasjoner av hjørnene.

En bør kanskje presisere at ekvivalensen mellom presentasjonen $$D_n = \langle r,s\mid r^n=s^2=1,rs=sr^{-1} \rangle$$ og definisjonen av $D_n$ som gruppen av symmetriene til en regulær $n$-gon kun gjelder for $n\geq 3$.

Dermed har vi ikke en slik geometrisk definisjon av $D_2$, og forventer ingen sammenheng mellom presentasjonen $$D_2 = \langle r,s\mid r^2=s^2=1,rs=sr^{-1} \rangle$$ og symmetriene til noe regulært $n$-gon.

Dette er fint forklart på Groupprops:
"(For $n\geq 3$): It is the group of symmetries of a regular -gon in the plane, viz., the plane isometries that preserves the set of points of the regular -gon. [...] Note that for $n=1$ and $n=2$, the geometric description of the dihedral group does not make sense. In these cases, we use the algebraic description."

Det er allikevel mulig å tenke på denne Klein fire-gruppen geometrisk som refleksjonene til et rektangel. Denne gruppen er generert av en loddrett refleksjon $a$ og en vannrett refleksjon $b$, og vi får den samme presentasjonen som ovenfor.

[stensrud]

En bør kanskje presisere at ekvivalensen mellom presentasjonen $$D_n = \langle r,s\mid r^n=s^2=1,rs=sr^{-1} \rangle$$ og definisjonen av $D_n$ som gruppen av symmetriene til en regulær $n$-gon kun gjelder for $n\geq 3$.

Dermed har vi ikke en slik geometrisk definisjon av $D_2$, og forventer ingen sammenheng mellom presentasjonen $$D_2 = \langle r,s\mid r^2=s^2=1,rs=sr^{-1} \rangle$$ og symmetriene til noe regulært $n$-gon.

Dette er fint forklart på Groupprops:
"(For $n\geq 3$): It is the group of symmetries of a regular -gon in the plane, viz., the plane isometries that preserves the set of points of the regular -gon. [...] Note that for $n=1$ and $n=2$, the geometric description of the dihedral group does not make sense. In these cases, we use the algebraic description."

Det er allikevel mulig å tenke på denne Klein fire-gruppen geometrisk som refleksjonene til et rektangel. Denne gruppen er generert av en loddrett refleksjon $a$ og en vannrett refleksjon $b$, og vi får den samme presentasjonen som ovenfor.

Okei, takk for oppklaringen. Grunnen til at jeg valgte å spørre var at den geometriske tolkningen av $D_2$ gir mening hvis du betrakter en digon på en kuleflate, for eksempel - og det er jo fint å kunne tenke litt visuelt der man har muligheten.