ring modulo nilpotente elementer

[stenvik team]

show that the set N of all nilpotent elements in a commutative ring R forms an ideal. Also show That R/N has no nonzero nilpotent elements.

Klarte første delen og lurer på om beviset mitt for del to er gyldig.

la $a\in R/N=\{a+N:\mathrm{\forall }n\in N\}$, jeg ønsker å vise at hvis $a^n=0\Rightarrow a=0$

la $a$ være et nilpotent element i $R/N$ som betyr at $(a+N{)}^n=0$, siden $N$ er et ideal har vi at $(a+N{)}^n=a^n+N=0$. Siden $0\in N$ medfører dette at $a^n=0$ som betyr at a er et nilpotent element i R og at det dermed er en del av mengden N.

[Gustav]

la $a\in R/N=\{a+N:\mathrm{\forall }n\in N\}$, jeg ønsker å vise at hvis $a^n=0\Rightarrow a=0$

la $a$ være et nilpotent element i $R/N$ som betyr at $(a+N{)}^n=0$, siden $N$ er et ideal har vi at $(a+N{)}^n=a^n+N=0$.

Hvis $a^n+N=0$ så må $a^n\in N\Rightarrow \mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}$ slik at $(a^n{)}^m=a^{nm}=0\Rightarrow$ $a$ er nilpotent i $R$ $\Rightarrow a\in N\Rightarrow a+N=0$.

[DennisChristensen]

show that the set N of all nilpotent elements in a commutative ring R forms an ideal. Also show That R/N has no nonzero nilpotent elements.

Klarte første delen og lurer på om beviset mitt for del to er gyldig.

la $a\in R/N=\{a+N:\mathrm{\forall }n\in N\}$, jeg ønsker å vise at hvis $a^n=0\Rightarrow a=0$

la $a$ være et nilpotent element i $R/N$ som betyr at $(a+N{)}^n=0$, siden $N$ er et ideal har vi at $(a+N{)}^n=a^n+N=0$. Siden $0\in N$ medfører dette at $a^n=0$ som betyr at a er et nilpotent element i R og at det dermed er en del av mengden N.

Først og fremst må du passe på om du jobber med $R$ eller $R/N$. Beviset ditt tar skade av at du blander notasjon, selv om du nok har tenkt riktig.

Løsningsforslag:

[+] Skjult tekst

La $r\in R$. Anta at $r+N$ er nilpotent (i $R/N$), altså at det finnes $n\in \mathbb{N}$ slik at $(r+N{)}^n=r^n+N=N$. Det vil si, $r^n\in N$, så $r^n$ er nilpotent (i $R$). Altså finnes det $k\in \mathbb{N}$ slik at $(r^n{)}^k=r^{nk}=0_R$. Dermed ser vi også at $r$ er nilpotent, så $r\in N$, så $r+N=N$, hvilket skulle vises.

[stenvik team]

takk for raske og gode svar.