the equation

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

the equation

Innlegg Janhaa » 14/09-2017 17:03

løs likninga under:

[tex]\large x^{x^5+x^7}\,+\,35=7x^{x^5}\,+\,5x^{x^7}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7789
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: the equation

Innlegg LAMBRIDA » 14/09-2017 22:25

Eg kan ikke bidra med noe annet enn selve svaret.
X tror eg er veldig nær 1,29867
LAMBRIDA offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 195
Registrert: 16/11-2011 19:50
Bosted: Hjelmeland

Re: the equation

Innlegg Janhaa » 15/09-2017 12:16

LAMBRIDA skrev:Eg kan ikke bidra med noe annet enn selve svaret.
X tror eg er veldig nær 1,29867

faktisk snarere
[tex]x \approx 1,32[/tex]
og
[tex]x \approx 1,38[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7789
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: the equation

Innlegg hurlumhei » 27/09-2017 15:00

Dersom vi definerer y = x^(x^5) og z = x^(x^7), blir likninga y z + 35 = 7 y + 5 z. Set vi inn y = 5, har vi 5z + 35 = 35 + 5z, som jo stemmer for ALLE z. Så vi kan finne ei løysing ved å løyse likninga y = 5, som gir x = ca. 1,379729661.

Om det er andre løysingar kan vi vurdere ved å studere ein graf. (Har ikkje gjort det, men tviler på at det er andre.)
hurlumhei offline

Re: the equation

Innlegg hurlumhei » 27/09-2017 15:12

Har no sett på ein meir nøyaktig graf og ser at Janhaa har rett i at det er to løysingar. Den andre er x = ca. 1,3204692.
hurlumhei offline

Re: the equation

Innlegg hurlumhei » 27/09-2017 15:44

For å finne den andre løysinga kan vi setje inn z = 7 i likninga y z + 35 = 7 y + 5 z. Da får vi 7y + 35 = 7y + 35, som jo stemmer for alle y, så det er nok å løyse likninga z = 7. Denne gir det svaret som er nær 1,32.
hurlumhei offline

Re: the equation

Innlegg Solar Plexsus » 27/09-2017 16:50

Vi har gitt eksponentiallikningen

$(1) \;\; x^{x^5+x^7} + 35 = 7x^{x^5} + 5x^{x^7}$.

Likning (1) er ekvivalent med

$(x^{x^5} - 5)(x^{x^7} - 7) = 0$,

som gir

$(2) \;\; x^{x^p} = p, \; p \in \{5,7\}$.

La oss først formode at likning (2) har en positive løsning. I så fall finnes det et tall $y$ slik at $x = p^y$. Dermed blir $x^p = (p^y)^p = p^{py}$, som innsatt i likning (2) gir

$p = (p^y)^{p^{py}} = p^{yp^{py}}$,

hvilket betyr at

$(3) \;\; yp^{py} = 1$.

Følgelig er $y>0$ via (3), hvilket betyr at det finnes et tall $y$ slik at $y = p^z$. Altså blir $p^{py} = p^{p^{z+1}}$, som iht. (3) innebærer at

$(4) \;\; p^{z + p^{z+1}} = 1$.

Av likning (4) følger at

$(5) \;\; z + p^{z+1} = 0$.

La $F_p(z) = z + p^{z+1}$: Ettersom både $z$ og $p^{z+1}$ vokser når $z$ vokser, er $F_p$ strengt voksende i $\mathbb{R}$. Ergo har $F_p$ høyst et nullpunkt. Dette samt det faktum at $F_p(-1) = -1 + p^0 = -1 + 1 = 0$ innebærer at $z=-1$ er eneste løsning av likning (5). Dermed blir

$x = p^y = p^{p^z} = p^{p^{-1}} = p^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{p}$

er eneste positive løsning av likning (2).

Til sist må vi undersøke om likning (2) har noen negative løsninger. Finnes det med andre ord et positive tall $x$ slik at

$(6) \;\; (-x)^{(-x)^p} = p$.

Nå er $(-x)^p = (-1)^p \cdot x^p = -x^p$ i.o.m. at $p$ er et odde primtall. Så skal likning (6) ha en løsning, må $(-1)^{-x^p} = 1$ og $x^{-x^p} = p$, i.e.

$(7) \;\; x^{x^p} = p^{-1}$.

Ved å gjennomføre variabelskiftet $x = p^y$ blir resultatet

$(8) \;\; yp^{py} = -1$

Altså må $y<0$ iht. likning (8), som betyr at det finnes et tall $z$ slik at $y = -p^z$, som i kombinasjon med likning (8) gir

$(9) \;\; z - p^{z+1} = 0$.

Nå er $z>0$ via likning (9), som igjen medfører at

${\textstyle \frac{d}{dz} (z - p^{z+1}) = 1 - p^{z+1}\ln p < 1 - p\ln p \leq 1 -5\ln 5 < 0}$,

hvilket betyr at

$z - p^{z+1} < 0 - p^{0+1} = -p < 0$.

Altså har ikke likning (9) noen løsning, som igjen innebærer at likning (2) ikke har en negativ løsning.

Konklusjon: Likning (1) har i alt to løsninger, som er $x = \sqrt[5]{5}$ og $x = \sqrt[7]{7}$.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1667
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: the equation

Innlegg Janhaa » 28/09-2017 11:13

Solar Plexsus skrev:Vi har gitt eksponentiallikningen$(1) \;\; x^{x^5+x^7} + 35 = 7x^{x^5} + 5x^{x^7}$.
Likning (1) er ekvivalent med
$(x^{x^5} - 5)(x^{x^7} - 7) = 0$,
som gir
$(2) \;\; x^{x^p} = p, \; p \in \{5,7\}$.
La oss først formode at likning (2) har en positive løsning. I så fall finnes det et tall $y$ slik at $x = p^y$. Dermed blir $x^p = (p^y)^p = p^{py}$, som innsatt i likning (2) gir
$p = (p^y)^{p^{py}} = p^{yp^{py}}$,
hvilket betyr at
$(3) \;\; yp^{py} = 1$.
Følgelig er $y>0$ via (3), hvilket betyr at det finnes et tall $y$ slik at $y = p^z$. Altså blir $p^{py} = p^{p^{z+1}}$, som iht. (3) innebærer at
$(4) \;\; p^{z + p^{z+1}} = 1$.
Av likning (4) følger at
$(5) \;\; z + p^{z+1} = 0$.
La $F_p(z) = z + p^{z+1}$: Ettersom både $z$ og $p^{z+1}$ vokser når $z$ vokser, er $F_p$ strengt voksende i $\mathbb{R}$. Ergo har $F_p$ høyst et nullpunkt. Dette samt det faktum at $F_p(-1) = -1 + p^0 = -1 + 1 = 0$ innebærer at $z=-1$ er eneste løsning av likning (5). Dermed blir
$x = p^y = p^{p^z} = p^{p^{-1}} = p^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{p}$
er eneste positive løsning av likning (2).
Til sist må vi undersøke om likning (2) har noen negative løsninger. Finnes det med andre ord et positive tall $x$ slik at
$(6) \;\; (-x)^{(-x)^p} = p$.
Nå er $(-x)^p = (-1)^p \cdot x^p = -x^p$ i.o.m. at $p$ er et odde primtall. Så skal likning (6) ha en løsning, må $(-1)^{-x^p} = 1$ og $x^{-x^p} = p$, i.e.
$(7) \;\; x^{x^p} = p^{-1}$.
Ved å gjennomføre variabelskiftet $x = p^y$ blir resultatet
$(8) \;\; yp^{py} = -1$
Altså må $y<0$ iht. likning (8), som betyr at det finnes et tall $z$ slik at $y = -p^z$, som i kombinasjon med likning (8) gir
$(9) \;\; z - p^{z+1} = 0$.
Nå er $z>0$ via likning (9), som igjen medfører at
${\textstyle \frac{d}{dz} (z - p^{z+1}) = 1 - p^{z+1}\ln p < 1 - p\ln p \leq 1 -5\ln 5 < 0}$,
hvilket betyr at
$z - p^{z+1} < 0 - p^{0+1} = -p < 0$.
Altså har ikke likning (9) noen løsning, som igjen innebærer at likning (2) ikke har en negativ løsning.
Konklusjon: Likning (1) har i alt to løsninger, som er $x = \sqrt[5]{5}$ og $x = \sqrt[7]{7}$.

Veldig fin og omstendelig løsning.
Takk skal du ha.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7789
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: the equation

Innlegg Janhaa » 28/09-2017 11:29

her er min løsning med manipulering:

[tex]\large x^{x^5+x^7} + 35 = 7x^{x^5} + 5x^{x^7}[/tex]

$\large (x^{x^5} - 5)(x^{x^7} - 7) = 0$,
DVs
$\large (x^{x^5} - 5) = 0$

$\large x^{x^5} = 5 $,

[tex]x^5\ln(x)=\ln(5)[/tex]

[tex]x^5\ln(x)=5\ln(\sqrt[5]{5})[/tex]

her ser vi at:

[tex]x^5=5[/tex]
og
[tex]x=\sqrt[5]{5}[/tex]


tilsvarende for:

$\large x^{x^7} = 7 $,

[tex]x^7\ln(x)=\ln(7)[/tex]

[tex]x^7\ln(x)=7\ln(\sqrt[7]{7})[/tex]

her ser vi at:

[tex]x^7=7[/tex]
og
[tex]x=\sqrt[7]{7}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7789
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 5 gjester