Jeg har en oppgave jeg har klart å løse med hjelp av Wolfram Alpha, og vil gjerne klare å løse den for hånd, håper noen kan hjelpe meg med dette
Oppgaven lyder som følger:
Finn det minste tallet [tex]b[/tex] slik at funksjonen [tex]f[/tex] definert ved [tex]f(x)=x^3+5x^2+bx+1[/tex] er invertibel.
Evaluer [tex](f^-1)'(1)[/tex] for denne verdien av [tex]b[/tex].
[tex]B[/tex] blir her [tex]\frac{25}{3}[/tex]. Det er dette jeg ikke klarer for hånd, ellers går resten fint. Jeg vet at funksjonen er invertibel, dersom den er strengt økende eller strengt avtagende, så jeg må vise at [tex]f'(x)\geq 0[/tex] eller [tex]f'(x)\leq 0[/tex]
Jeg valgte å fokusere på [tex]f'(x)\geq 0[/tex], hvordan kan jeg vite hvem jeg skal lete etter?
Jeg kom frem til:
[tex]f'(x)=3x^2+10x+b[/tex]
[tex]f'(x)=3x^2+10x+b\geq 0[/tex]
Prøvde å lage en annengradslikning med [tex]3x^2+10x+b=0[/tex], da jeg skal finne den minste verdien av [tex]b[/tex], og kom frem til
[tex]\frac{-10\pm \sqrt{100-12b}}{6}[/tex]
Etter dette får jeg ikke til mer. Er det noen som kan forklare meg hvordan jeg herfra finner [tex]b = \frac{25}{3}[/tex]? Eller om jeg har gjort noe galt?
. Tusen takk!