ellipse

[ER1]

En romsonde med ellipsoideform er gitt ved likningen: g (x ,y ,z )= 4x^2+y^2+4z^2-16=0
Sonden kommer inn i jordatmosfæren med stor fart, og sondens overflate blir da kraftig
oppvarmet. Etter en time er temperaturfordelingen på sondeoverflaten gitt ved:
f(x ,y ,z )=8x^2+4yz-16z+600 , der temperaturforskjellen mellom konturene er 5 Grader C


a) Finn en parameterframstilling for sonden/ellipsoiden. Oppgi også størrelsen på parameterne.
b) Finn alle punktene (x,y,z) som er løsning av Lagrange’s likning: ∇f = λ∇g med
bibetingelsen g(x, y,z) = 0 .
c) Bestem absolutt maks og absolutt min for temperaturen f på overflaten av romsonden.

[Aleks855]

Har du fått til noe selv?

[RE1]

Nei, litt usikker på hvordan jeg skal starte.

[Aleks855]

Og jeg blir usikker på hvordan jeg skal hjelpe.

Den første oppgaven er å parameterfremstille funksjonen. Har du gjort det?

[Gustav]

En romsonde med ellipsoideform er gitt ved likningen: $g (x ,y ,z )= 4x^2+y^2+4z^2-16=0 $
Sonden kommer inn i jordatmosfæren med stor fart, og sondens overflate blir da kraftig
oppvarmet. Etter en time er temperaturfordelingen på sondeoverflaten gitt ved:
$f(x ,y ,z )=8x^2+4yz-16z+600$ , der temperaturforskjellen mellom konturene er 5 Grader C


a) Finn en parameterframstilling for sonden/ellipsoiden. Oppgi også størrelsen på parameterne.
b) Finn alle punktene (x,y,z) som er løsning av Lagrange’s likning: ∇f = λ∇g med
bibetingelsen g(x, y,z) = 0 .
c) Bestem absolutt maks og absolutt min for temperaturen f på overflaten av romsonden.

Ellipsoiden er en 2-dimensjonal flate, så man behøver to parametre, $s,t$. La $x=s$, $y=t$.

Fra likningen fås at $z=\pm \sqrt{4-x^2-\frac14 y^2}=\pm \sqrt{4-s^2-\frac14 t^2}$.

Parameterfremstillingen blir da $(x(s,t),y(s,t),z(s,t))= (s,t, \pm \sqrt{4-s^2-\frac14 t^2})$.

Eventuelt: Skriv likningen på formen $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$. Innfører du $X=\frac{x}{a}, Y=\frac{y}{b}, Z=\frac{z}{c}$, fås $X^2+Y^2+Z^2=1$ som er en kuleflate med radius 1, med parametrisering

$X=\cos u \sin v$
$Y= \sin u \sin v$
$Z=\cos v$, der

$u\in [0,2\pi), v\in [0,\pi]$. Dette svarer da til at

$x=a\cos u \sin v$
$y= b\sin u \sin v$
$z=c\cos v$

[RE1]

Takk!