Fullstendig kvadrat - finn c

[Straamann]

Oppgaven er å finne tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat.

9y^2 +30y + c

Jeg vet at c = (b/2)^2. Jeg får at c =15^2. Men jeg sliter med hvordan jeg kan forkorte uttrykket.
Det må vel gå an å dele med 9, men hvordan er fremgangsmåten?

[Aleks855]

Har et eksempel på hvordan du faktoriserer det her: https://udl.no/v/matematikk-blandet/alg ... drater-154

[Straamann]

Takk, det er en nyttig video som jeg skal se ferdig senere.
Men det er ikke helt det jeg lurte på (jeg følger læreboken, så metoden
med fullstendige kvadrater kommer ikke før i neste avsnitt)

I oppgaven jeg viser til, har jeg funnet c. Men c er 15^2, altså 225. Men i følge fasit skal svaret være 25.
Jeg antar derfor at jeg må dele 225 på 9, som er talle før y^2. Da får jeg også vekk 9 før y^2. Men hvordan gjør jeg dette i praksis?

[Aleks855]

Metoden fungerer best når koeffisienten på andregradsleddet er 1. Som betyr at gitt likninga $9y^2 + 30y + 225 = 0$ så kan du dele gjennom likninga med $9$ for å få uttrykket på den formen vi trenger.

[Straamann]

Hm, jeg henger ikke helt med. Setter stor pris på om noen kan vise meg utregning trinn for trinn, for jeg har litt hjerneblokk nå.

[OYV]

Prøver denne fremgangsmåten:

1) Setter 9 utenfor en parantes :

9( y^2 + 30/9 * y )

2) Bygger ut uttrykket inne i parantesen til et fullstendig kvadrat ved å legge til (b/2)^2 :

9 ( y^2 + 30/9 + (15/9)^2 ) = 3^2 * ( y + 15/9 )^2 = (3 * (y + 15/9)) ^2 = (3y + 15/3)^2

= (3y)^2 + 2 * 3y * 15/3 + (15/9)^2 = 9y^2 + 30y + 225/81

Svar: c = 225/81

[OYV]

Beklager regnefeil !

(3y + 15/3)^2 = (3y + 5) ^2 = (3y)^2 + 2 * 3y * 5 + 5^2 = 9y^2 + 30y + 25

Svar: c = 25

[OYV]

Alternativ løsning (kanskje denne er lettere å skjønne ) ?

Skriver om uttrykket på en måte som samsvarer med 1. kvadratsetning :

9y^2 + 30y = (3y)^2 + 2 * 3y * 5

Her ser vi at vi må legge til 5^2 for å få et fullstendig kvadrat.

[Straamann]

Hei, ja de foregående måtene å regne på ble litt rotete syns jeg, men den siste var lettere å forstå.
Ligningen blir jo riktig og man viser svaret på c.
Men det løser fremdeles ikke utfordringen med å vise i utregningen hvordan man får 225 til å bli 25.

Jeg bør vise i utregningen at (b/2)^2 = c. Det er det som ifølge boka er definisjonen på et fullstendig kvadrat. I dette tilfellet blir det altså:

(30/2)^2 = 225. Da kan ikke c = 25.

Du var inne på en forklaring i en av de forrige forklaringene, men jeg synes den utregning ble så komplisert at jeg kan ikke forstå at det ikke kan gjøres på en enklere måte.

Skjønner du/dere hva jeg mener?

[Straamann]

Tror det gikk opp et lys her nå!

Prøvde meg på en annen lignende oppgave,
og satte opp utregningen trinn for trinn. Ser det riktig ut?

(skulle kanskje hatt dobbel strek under c = 49)

[OYV]

Dette ser bra ut ! Du får et fullstendig kvadrat inne i parantesen ved å plusse på (b/2)^2 = (7/2)^2
Da gjenstår bare å skrive uttrykket på formen ( a - b )^2 (jamfør 2 . kvadratsetning )

[Straamann]

Ok, så du mener (4a - 14)^2 ?

Blir det det samme som (2a - 7)^2?

(Det er dette jeg ikke skjønner, om man har lov til å minske verdiene. F.eks i den andre oppgaven, hvordan man deler 225 med 9 og får 25)

[OYV]

I ditt forrige innlegg skrev du følgende:

4a^2 - 28 a = 4( a^2 - 7a)

Du bygger ut uttrykket inne i parantesen til et fullstendig kvadrat ved å legge til (b/2)^2 = (7/2)^2.

Da får du 4( a^2 - 7a + (7/2)^2 ) = 4 (a - 7/2)^2

NB! Viss du vil trekke inn 4 i kvadratet, må du først skrive 4 som et kvadrat( 4 = 2^2 )

Enklere løsning: 4a^2 - 28a = (2a))^2 - 2 * (2a) * 7

Her ser vi at vi får et fullstendig kvadrat (2a - 7 )^2 ved å legge til 7^2.

[OYV]

Hvordan skrive 4 * ( a - 7/2 )^2 som ett kvadrat ?

Vi kan trekke inn faktoren 4 i kvadratet ( a - 7/2)^2, men da må vi først trekke ut kvadratroten
av 4 ( som jo er lik 2) . Da får vi

4 * ( a - 7/2 )^2 = (2 * ( a - 7/2 ) ) ^2 = ( 2a - 7 )^2

Hvordan skrive 9 * (y - 5/3)^2 som ett kvadrat ? Prøv selv !

[Straamann]

Tror jeg har skjønt det. Gi gjerne tilbakemelding på denne utregningen: