Abelrelevante oppgaver, del 2

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 02/11-2017 22:39

plutarco skrev:2. Finn alle reelle tallpar (x,y) slik at $2x=x^2+y^2$ og $y=xy$


Vi observerer at $y=xy$ kun har løsning når:
$(1) \enspace \enspace x=0$ og $y=0$
$(2) \enspace \enspace x=1$ og $y =$ et vilkårlig tall
$(3) \enspace \enspace x=$ et vilkårlig tall og $y=0$

Vi sjekker når disse løsningene passer inn med $2x=x^2+y^2$

$(0, 0) \enspace \rightarrow \enspace 2\cdot 0 = 0^2+0^2 \Rightarrow 0=0 \enspace \checkmark$
$(1, $vilkårlig tall$) \enspace \rightarrow \enspace 2 \cdot 1 = 1^2 + y^2 \Rightarrow 2-1 = y^2 \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y = \{-1,1 \}$
$($vilkårlig tall$, 0) \enspace \rightarrow \enspace 2x = x^2 + 0^2 \Rightarrow x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = \{0,2 \}$

Vi har altså fire tallpar som oppfyller likningene: $(0,0), \, (1,-1), \, (1,1), \, (2,0)$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 02/11-2017 23:14

plutarco skrev:3. Dersom

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$ og
$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=2$

Bestem verdien av $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$



Setter $y=5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$

Vi kan skrive $x_1$ som $1-x_2-x_3-x_4-x_5$, $x_2$ som $1-x_1-x_3-x_4-x_5$ osv. Vi har da at;

$y = 5(1-x_2-x_3-x_4-x_5) + 4(1-x_1-x_3-x_4-x_5) + 3(1-x_1-x_2-x_4-x_5) + 2(1-x_1-x_2-x_3-x_5) + (1-x_1-x_2-x_3-x_4)$

$y = 15 - 10x_1 - 11x_2 - 12x_3 - 13x_4 - 14x_5$

Vi observerer at hvis vi legger til $9 \cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$, som vi vet er lik 1, får vi $-(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)$ som vi vet er lik $2$.

$y + 9\cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) = 15 - 10x_1 - 11x_2 - 12x_3 - 13x_4 - 14x_5 + 9\cdot (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$

$y + 9 \cdot 1 = 15 -(x_1+2x_2+3x_3+4x_5+5x_5)$

$y + 9 = 15 - 2$

$y = 4$

Altså er $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5 = 4$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 03/11-2017 09:48

Alternativ løsning:

Har valgt å "øremerke" de to ligningene med henholdsvis alfa og beta (har ikke tilgang til det greske alfabetet på min PC )
Siden vi her har å gjøre med et underbestemt ligningssett ( 2 ligninger og 5 ukjente ) , må det påfølgende uttrykket
være en lineærkombinasjon av V.S. i alfa og beta for at problemet skal være løsbart.

Nå vil jeg bestemme a og b slik at

a * V.S. (alfa ) + b * V.S. (beta ) = 5 * x[tex]_1[/tex] + 4*x[tex]_2[/tex] + 3*[tex]x_3[/tex] + 2*x[tex]_4[/tex] + x[tex]_5[/tex].

Vi trenger bare to ligninger for å bestemme a og b.

Summen av x[tex]_1[/tex] - ledda = 5 * x[tex]_1[/tex] gir ligningen

( 1 ) a + b = 5

Sammenligner x[tex]_5[/tex]-ledda og får ligningen

( 2 ) a + 5b = 1

Dette ligningssetett har løsningen a = 6 og b = -1

Summerer høyresidene i alfa og beta , og får

sum = 6 *1 + 2 * ( - 1 ) = 4
OYV offline

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 03/11-2017 10:14

5 * [tex]x_1[/tex] + 4 * [tex]x_2[/tex] + 3 * [tex]x_3[/tex] + 2 * [tex]x_4[/tex] + [tex]x_5[/tex] = a * H.S. ( alfa ) + b * H.S.( beta ) = 6 * 1 + ( -1 )* 2 = 4
OYV offline

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 03/11-2017 10:17

Fint det!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4295
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 03/11-2017 10:26

Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Alternativ løsning på 3: Legg merke til at $2+y=(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)+(5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5)=6(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=6$

Moralen er å utnytte symmetrien i problemet.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4295
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 03/11-2017 11:47

Enkel og elegant løsning !
OYV offline

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 03/11-2017 11:53

plutarco skrev:Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Alternativ løsning på 3: Legg merke til at $2+y=(x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5)+(5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5)=6(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=6$

Moralen er å utnytte symmetrien i problemet.


Gjerne det! Var svaret på 1 og 2 korrekt?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gjest » 03/11-2017 12:37

plutarco skrev:Hvis det er interesse for en ny bunch med abelrelevante oppgaver, kan jeg godt legge ut mer.


Ser ut til at abeloppgavene dine var en slager så jeg tror du trygt kan legge ut helt til folk slutter å løse dem, eller du går lei av å finne oppgaver. Selv likte jeg godt geometriproblemene så hvis du har noen av de må du gjerne legge ut sånne også :)
Gjest offline

Forrige

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 35 gjester