liten "Abel oppgave"

[Janhaa]

Gitt:

$f(x)+f(x+1)=2x+3$
og
$f(2)=3$
hva er:
$f(99)$?

[alund]

Min løsning: utregning, antagelse, bevis og til slutt anvendelse.
Flytter om til $f(x+1)=2x+3-f(x)$, og regner ut noen verdier for $f$:
$f(2+1)=f(3)=2\cdot 2+3-3=4$
$f(4)=5,f(5)=6,f(6)=7$.
Ser ut som $f(x)=x+1$. Setter det inn i venstresiden for å få høyresiden:
$f(x)+f(x+1)=x+1+x+1+1=2x+3$.
Dermed er $f(99)=100$.

[Markus]

Jeg løste den også selv først som alund, men lurer på om følgende også kan være gyldig, særlig antakelsen om at $f(x)$ er lineær:

Ut av opplysningene kan vi anta at $f(x)$ er en lineær funksjon, altså på formen $ax+b$
Da vil $f(0)$ gi oss konstantleddet; $f(0)=3-f(1)$, og $f(1)=2+3-f(2)=2$, så $f(0)=3-2=1$

Og siden funksjonen er lineær er det null problem å finne stigningstallet: $\frac{y_{x=2}-y_{x=0}}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{3-1}{2}=1$

Da må $f(x)=x+1$, og av dette ser vi at $f(99)=100$

[Janhaa]

begge ser bra ut :=)