Lineær ligning med to ukjente

[Straamann]

Jeg sliter sånn med å omsette praktisk info til å løse noe teoretisk. Som i denne oppgaven:

"En videregående skole har en varmdrikkautomat for te og kaffe. En kopp te koster 6 kr, og en kopp kaffe koster 8 kr. En dag var det solgt i alt 58 kopper te og kaffe, og det var akkurat 400 kr på automaten. Hvor mange kopper te og hvor mange kopper kaffe var det solgt denne dagen?"

Jeg skjønner at de to ukjente er antall kopper te og kaffe, og prisen på de er henholdsvis 6 og 8 kr. Tilsammen skal antall kaffe + antall te (tilsammen 58 kopper) bli 400 kr. Men hvordan regne ut hvor mange av hver sort? Jeg tipper dette kan gjøres med et ligningssett.

Men hvordan?

[alund]

For hver kopp te får automaten 6kr og for hver kopp kaffe 8kr. Om [tex]t[/tex] er antall kopper te solgt og [tex]k[/tex] antall kopper kaffe solgt har vi altså ligningssystemet
[tex]6t+8k=400[/tex]
[tex]t+k=58[/tex]
Første ligning er ekvivalent med [tex]3t+4k=200[/tex]. Trekker vi fra tre ganger andre ligning fra den ligningen får vi [tex]k=200-3\cdot 58=200-174=26[/tex], som i andre ligning gir at [tex]t=32[/tex].

[Straamann]

For hver kopp te får automaten 6kr og for hver kopp kaffe 8kr. Om [tex]t[/tex] er antall kopper te solgt og [tex]k[/tex] antall kopper kaffe solgt har vi altså ligningssystemet
[tex]6t+8k=400[/tex]
[tex]t+k=58[/tex]
Første ligning er ekvivalent med [tex]3t+4k=200[/tex]. Trekker vi fra tre ganger andre ligning fra den ligningen får vi [tex]k=200-3\cdot 58=200-174=26[/tex], som i andre ligning gir at [tex]t=32[/tex].

Hm, kan du forklare hva du mener med at du trekke fra tre ganger fra andre ligning?
Og hvorfor får du [tex]k=200-3\cdot 58=200-174=26[/tex], hvor er det blitt av 4 foran k?

[alund]

Hm, kan du forklare hva du mener med at du trekke fra tre ganger fra andre ligning?
Og hvorfor får du [tex]k=200-3\cdot 58=200-174=26[/tex], hvor er det blitt av 4 foran k?

Det dreier seg om addisjonsmetoden.
Generelt, om vi har to likninger
[tex]a=c[/tex]
[tex]b=d[/tex]
vil det vi kaller å trekke den første ligningen fra den andre gi [tex]b-a=d-c[/tex].
Når vi trekker tre ganger [tex]t+k=58[/tex] fra [tex]3t+4k=200[/tex] legger vi egentlig sammen ligningene
[tex]-3t-3k=-3\cdot 58[/tex]
[tex]3t+4k=200[/tex]
som gir kansellasjon av [tex]t[/tex] og derfor svaret på [tex]k[/tex]. Venstreside legges her sammen med venstreside og høyreside med høyreside, men det spiller egentlig ingen rolle hvilken side vi velger til hvilket uttrykk så lenge vi legger til like mye på hver side, siden uttrykkene på hver side i en likhet er like.