God blanding

[Markus]

$(1)$ Hvis $x+\frac{1}{x}=5$, hva er $x^2+\frac{1}{x^2}$? [LØST]

$(2)$ Hva er summen av alle de positive faktorene til $72$? [LØST]

$(3)$ På hvor mange måter kan man dele $9$ drops mellom $3$ personer, dersom alle dropsene må deles ut og en eller flere personer kan motta $0$ drops? [LØST]

$(4)$ Gitt mengden $M=\{1,2,3,\dots ,2017,2018\}$ og den tomme mengden $S$. Du plukker et og et tall tilfeldig, "fjerner" de fra mengden $M$ og legger de i mengden $S$. Hvor mange tall må det være i mengden $S$ før du er ABSOLUTT SIKKER på at MINST et par av tallene i mengden $S$ summerer til $2019$? [LØST]

$(5)$ La $a+b+c+d=1$, der $a,b,c,d\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{+}}$. Vis at den minste verdien til $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ er $16$. [LØST]

$(6)$ La $a_0=0$, $a_1=1$ og $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$ for $n\ge 2$, hva er da siste siffer i $a_{2017}$? [LØST]

$(7)$ En funksjon $f$ er slik at $f(x)+xf(1-x)=120x,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Hva er $f(2)$? [LØST]

$(8)$ Rekken ${\displaystyle \frac{100}{1\cdot 2}+\frac{100}{2\cdot 3}+\frac{100}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{100}{99\cdot 100}}$ summerer til? [LØST]

$(9)$ I trekanten $\mathrm{△}ABC$ er $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$, mens den misnte vinkelen er lik $6,5^{\circ }$. La $O$ være midtpunktet på hypotenusen. Hva er vinkelen (i grader) mellom linjestykket $CO$ og høyden fra $C$ ned på hypotenusen?

$(10)$ Et positivt heltall $n$ er lykkelig hvis det finnes hele tall $a$ og $b$ slik at $n=a^2+b^2$. La $t$ være et lykkelig tall. Vis at $2t$ er lykkelig og at $3t$ ikke er lykkelig. [LØST]

$(11)$ Fermat-tallene $F_n$ er definert ved ${\displaystyle F_n=2^{2^n}+1}$ for $n=0,1,2,\dots$. Vis at to Fermat-tall $F_n$ og $F_m$, der $n\ne m$ er relativt primiske.
Hint:

[+] Skjult tekst

Bruk lemmaen $F_0\cdot F_1\cdots F_{n-1}+2=F_n$, for $n\ge 1$. Lemmaet kan bevises via bla. a. induksjon

[Guest]

$(1)$ $x+\frac{1}{x}=5$
${(x+\frac{1}{x})}^2=5^2$
$x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=25$
$x^2+2+\frac{1}{x^2}=25$
$x^2+\frac{1}{x^2}=25-2=23$

[Janhaa]

$(2)$ Hva er summen av alle de positive faktorene til $72$?

faktorene til 72 er:
$1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72$
$summener:195$

$(7)$ En funksjon $f$ er slik at $f(x)+xf(1-x)=120x,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Hva er $f(2)$?

$f(-1)-f(2)=-120$
og
$f(2)+2f(-1)=240$
DVs
$3f(2)=480$
og
$f(2)=160$

[Markus]

Helt korrekt Janhaa og gjest!

Hvordan fant du faktorene Janhaa, bare telte du deg opp eller brukte du en teknikk?

[Janhaa]

Helt korrekt Janhaa og gjest!
Hvordan fant du faktorene Janhaa, bare telte du deg opp eller brukte du en teknikk?

bare talte dem (kan ingen teknikk der)
:=)

[OYV]

OPPGAVE 8:

Verktøy: $\frac{1}{k(k+1)}$ = $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

100 ( $\frac{1}{1\cdot 2}$ + $\frac{1}{2\cdot 3}$ + ..............+$\frac{1}{98\cdot 99}$ + $\frac{1}{99\cdot 100}$) = 100 $\cdot$(1 - $\frac{1}{100}$ ) = 100 - 1 = 99

[Markus]

Det er helt korrekt OYV! Trikset er å se at det er en teleskoperende rekke, og bruke det.

Janhaa; det man også kan gjøre er å se at $72=2^3\cdot 3^2$. Da kan man sette opp alle kombinasjoner av de to faktorene i en (to-dimensjonal) tabell, og observere det at arealet av tabellen er lik summen av alle faktorene. Hvis vi lar $2$-faktorene, dvs $2^0,2^1,2^2,2^3$ være kolonnene i tabellen, og $3$-faktorene, dvs $3^0,3^1,3^2$ være radene i tabellen, får vi et rektangel. Der er bredden lik summen av $2$-faktorene; $b=1+2+4+8=15$ og høyden lik summen av $3$-faktorene; $h=1+3+9=13$. Da er $A=b\cdot h=15\cdot 13=95$, så summen av alle faktorene er $95$

Har forsåvidt også lagt inn et hint på det siste spørsmålet.

[OYV]

De positive faktorene til 72 :

En vilkårlig faktor kan skrives på formen $2^j$ $\cdot$3${}^k$
, j$\in$ {0 , 1 , 2 , 3 } , k $\in$ {0 , 1 , 2 }

Sum = $\sum _0^3$2${}^j$$\cdot$$\sum _0^2$3${}^k$ =
(1 + 2 + 4 + 8 )(1 + 3 + 9 ) = 15 $\cdot$13 = 195

[Gustav]

$(5)$ La $a+b+c+d=1$, der $a,b,c,d\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{+}}$. Vis at den minste verdien til $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ er $16$.

$\sum _{cyc}{a}^{-1}=\sum _{cyc}a\sum _{cyc}{a}^{-1}\ge (1+1+1+1{)}^2=16$ ved CS-ulikheten.

[Gustav]

$(3)$ På hvor mange måter kan man dele $9$ drops mellom $3$ personer, dersom alle dropsene må deles ut og en eller flere personer kan motta $0$ drops?

$\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{9+1}{3-1})\right)$ ved stars-and-bars teoremet

[Markus]

Fint vist OYV, og selvfølgelig helt korrekt på ulikheten Gustav, men på kombinatorikkspørsmålet tror jeg du har glemt av en av barene mellom stjernene, så det blir vel $(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2})$, om jeg ikke misforstår?

[Gustav]

$(10)$ Et positivt heltall $n$ er lykkelig hvis det finnes hele tall $a$ og $b$ slik at $n=a^2+b^2$. La $t$ være et lykkelig tall. Vis at $2t$ er lykkelig og at $3t$ ikke er lykkelig.

Anta $t$ lykkelig, dvs. at $t=a^2+b^2$ for heltall $a,b$. Da er

$2t=2(a^2+b^2)=(a+b{)}^2+(a-b{)}^2$, som er lykkelig.


Anta $3t$ er lykkelig. Da er $3t=3(a^2+b^2)=c^2+d^2$. Kvadratiske rester modulo 3 er 0 eller 1, så eneste mulighet er at både $c$ og $d$ er ekvivalent med $0$ mod 3. Sett derfor $c=3c^{\prime },d=3d^{\prime }$. Etter kansellasjon ender vi opp med $a^2+b^2=3(c^{\prime 2}+d^{\prime 2})$. Samme argumentasjon repetert inntil en av variablene ikke lenger har en faktor 3 gir oss motsigelsen (essensielt "proof by infinite descent")

[Gustav]

Fint vist OYV, og selvfølgelig helt korrekt på ulikheten Gustav, men på kombinatorikkspørsmålet tror jeg du har glemt av en av barene mellom stjernene, så det blir vel $(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2})$, om jeg ikke misforstår?

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiset# ... _multisets

[Markus]

Min feil å ikke se de ekstra parantesene der - da blir svaret selvfølgelig det samme som det hadde vært skrevet med kun binomialkoeffisienter!

Fint vist med de lykkelige tallene!
For øvrig fra Abelfinalen 95/96.

[Emilga]

$(6)$ La $a_0=0$, $a_1=1$ og $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$ for $n\ge 2$, hva er da siste siffer i $a_{2017}$?

Vi observerer at vi kan omskrive rekurrenslikningen som:
${\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)$

Koeffisientmatrisen $A$ har egenverdiene $\lambda =1,2$.

Som gir oss egenvektormatrisen:

$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)$

Inversen av denne er:

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{2}& 2\sqrt{2}\\ \sqrt{5}& -\sqrt{5}\end{array}\right)$

Har videre $A^n=P{\mathrm{\Lambda }}^n{P}^{-1}$:

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)=P{\mathrm{\Lambda }}^n{P}^{-1}\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_0\end{array}\right)=\dots =\left(\begin{array}{c}{2}^{n+1}-1\\ 2^n-1\end{array}\right)$

Altså er $a_n=2^n-1$.

Toerpotensene $2^n$ med $n=1,2,3,\dots$ har bakerste siffer: $2\to 4\to 8\to 6\to 2\to \dots$ som har periodisitet 4.

$2017=2016+1\sim 1$ mod 4. Altså har $2^{2017}$ bakerste siffer lik 2.

Altså er bakerste siffer til $a_{2017}$ lik $2-1=1$.