God blanding

[Markus]

$(1) \enspace$ Hvis $x + \frac{1}{x} = 5$, hva er $x^2+\frac{1}{x^2}$? [LØST]

$(2) \enspace$ Hva er summen av alle de positive faktorene til $72$? [LØST]

$(3) \enspace$ På hvor mange måter kan man dele $9$ drops mellom $3$ personer, dersom alle dropsene må deles ut og en eller flere personer kan motta $0$ drops? [LØST]

$(4) \enspace$ Gitt mengden $M = \{1,2,3,\dots,2017,2018 \}$ og den tomme mengden $S$. Du plukker et og et tall tilfeldig, "fjerner" de fra mengden $M$ og legger de i mengden $S$. Hvor mange tall må det være i mengden $S$ før du er ABSOLUTT SIKKER på at MINST et par av tallene i mengden $S$ summerer til $2019$? [LØST]

$(5) \enspace$ La $a+b+c+d=1$, der $a,b,c,d \in \mathbb{R^+}$. Vis at den minste verdien til $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$ er $16$. [LØST]

$(6) \enspace$ La $a_0 = 0$, $a_1=1$ og $a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}$ for $n \geq 2$, hva er da siste siffer i $a_{2017}$? [LØST]

$(7) \enspace$ En funksjon $f$ er slik at $f(x) + xf(1-x) = 120x , \enspace \forall x \in \mathbb{R}$. Hva er $f(2)$? [LØST]

$(8) \enspace$ Rekken $\displaystyle \frac{100}{1 \cdot 2} + \frac{100}{2 \cdot 3} + \frac{100}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{100}{99 \cdot 100}$ summerer til? [LØST]

$(9) \enspace$ I trekanten $\triangle ABC$ er $\angle C = 90^{\circ}$, mens den misnte vinkelen er lik $6,5^{\circ}$. La $O$ være midtpunktet på hypotenusen. Hva er vinkelen (i grader) mellom linjestykket $CO$ og høyden fra $C$ ned på hypotenusen?

$(10) \enspace$ Et positivt heltall $n$ er lykkelig hvis det finnes hele tall $a$ og $b$ slik at $n=a^2+b^2$. La $t$ være et lykkelig tall. Vis at $2t$ er lykkelig og at $3t$ ikke er lykkelig. [LØST]

$(11) \enspace$ Fermat-tallene $F_n$ er definert ved $\displaystyle F_n = 2^{2^n} +1$ for $n=0,1,2,\dots$. Vis at to Fermat-tall $F_n$ og $F_m$, der $n \neq m$ er relativt primiske.
Hint:

[+] Skjult tekst

Bruk lemmaen $F_0 \cdot F_1 \cdots F_{n-1} + 2= F_{n}$, for $n \geq 1$. Lemmaet kan bevises via bla. a. induksjon

[Gjest]

[tex](1)[/tex] [tex]x+\frac{1}{x}=5[/tex]
[tex]\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2=5^2[/tex]
[tex]x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=25[/tex]
[tex]x^2+2+\frac{1}{x^2}=25[/tex]
[tex]x^2+\frac{1}{x^2}=25-2=23[/tex]

[Janhaa]

$(2) \enspace$ Hva er summen av alle de positive faktorene til $72$?

faktorene til 72 er:
[tex]1,2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72[/tex]
[tex]summen \,\,er:195[/tex]

$(7) \enspace$ En funksjon $f$ er slik at $f(x) + xf(1-x) = 120x , \enspace \forall x \in \mathbb{R}$. Hva er $f(2)$?

[tex]f(-1)-f(2)=-120[/tex]
og
[tex]f(2)+2f(-1)=240[/tex]
DVs
[tex]3f(2)=480[/tex]
og
[tex]f(2)=160[/tex]

[Markus]

Helt korrekt Janhaa og gjest!

Hvordan fant du faktorene Janhaa, bare telte du deg opp eller brukte du en teknikk?

[Janhaa]

Helt korrekt Janhaa og gjest!
Hvordan fant du faktorene Janhaa, bare telte du deg opp eller brukte du en teknikk?

bare talte dem (kan ingen teknikk der)
:=)

[OYV]

OPPGAVE 8:

Verktøy: [tex]\frac{1}{k(k + 1)}[/tex] = [tex]\frac{1}{k}- \frac{1}{k + 1}[/tex]

100 ( [tex]\frac{1}{1\cdot 2}[/tex] + [tex]\frac{1}{2\cdot 3}[/tex] + ..............+[tex]\frac{1}{98\cdot 99}[/tex] + [tex]\frac{1}{99\cdot 100}[/tex]) = 100 [tex]\cdot[/tex](1 - [tex]\frac{1}{100}[/tex] ) = 100 - 1 = 99

[Markus]

Det er helt korrekt OYV! Trikset er å se at det er en teleskoperende rekke, og bruke det.

Janhaa; det man også kan gjøre er å se at $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Da kan man sette opp alle kombinasjoner av de to faktorene i en (to-dimensjonal) tabell, og observere det at arealet av tabellen er lik summen av alle faktorene. Hvis vi lar $2$-faktorene, dvs $2^0, 2^1, 2^2, 2^3$ være kolonnene i tabellen, og $3$-faktorene, dvs $3^0, 3^1, 3^2$ være radene i tabellen, får vi et rektangel. Der er bredden lik summen av $2$-faktorene; $b = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$ og høyden lik summen av $3$-faktorene; $h = 1 + 3 + 9 = 13$. Da er $A = b \cdot h = 15 \cdot 13 = 95$, så summen av alle faktorene er $95$

Har forsåvidt også lagt inn et hint på det siste spørsmålet.

[OYV]

De positive faktorene til 72 :

En vilkårlig faktor kan skrives på formen [tex]2^{j}[/tex] [tex]\cdot[/tex]3[tex]^{k}[/tex]
, j[tex]\in[/tex] {0 , 1 , 2 , 3 } , k [tex]\in[/tex] {0 , 1 , 2 }

Sum = [tex]\sum_{0}^{3}[/tex]2[tex]^{j}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\sum_{0}^{2}[/tex]3[tex]^{k}[/tex] =
(1 + 2 + 4 + 8 )(1 + 3 + 9 ) = 15 [tex]\cdot[/tex]13 = 195

[Gustav]

$(5) \enspace$ La $a+b+c+d=1$, der $a,b,c,d \in \mathbb{R^+}$. Vis at den minste verdien til $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$ er $16$.

$\sum_{cyc}a^{-1}=\sum_{cyc}a \sum_{cyc}a^{-1} \geq (1+1+1+1)^2=16$ ved CS-ulikheten.

[Gustav]

$(3) \enspace$ På hvor mange måter kan man dele $9$ drops mellom $3$ personer, dersom alle dropsene må deles ut og en eller flere personer kan motta $0$ drops?

$\left(\!\!{9+1\choose 3-1}\!\!\right)$ ved stars-and-bars teoremet

[Markus]

Fint vist OYV, og selvfølgelig helt korrekt på ulikheten Gustav, men på kombinatorikkspørsmålet tror jeg du har glemt av en av barene mellom stjernene, så det blir vel $\binom{11}{2}$, om jeg ikke misforstår?

[Gustav]

$(10) \enspace$ Et positivt heltall $n$ er lykkelig hvis det finnes hele tall $a$ og $b$ slik at $n=a^2+b^2$. La $t$ være et lykkelig tall. Vis at $2t$ er lykkelig og at $3t$ ikke er lykkelig.

Anta $t$ lykkelig, dvs. at $t=a^2+b^2$ for heltall $a,b$. Da er

$2t=2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2$, som er lykkelig.


Anta $3t$ er lykkelig. Da er $3t=3(a^2+b^2)=c^2+d^2$. Kvadratiske rester modulo 3 er 0 eller 1, så eneste mulighet er at både $c$ og $d$ er ekvivalent med $0$ mod 3. Sett derfor $c=3c', d=3d'$. Etter kansellasjon ender vi opp med $a^2+b^2=3(c'^2+d'^2)$. Samme argumentasjon repetert inntil en av variablene ikke lenger har en faktor 3 gir oss motsigelsen (essensielt "proof by infinite descent")

[Gustav]

Fint vist OYV, og selvfølgelig helt korrekt på ulikheten Gustav, men på kombinatorikkspørsmålet tror jeg du har glemt av en av barene mellom stjernene, så det blir vel $\binom{11}{2}$, om jeg ikke misforstår?

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiset# ... _multisets

[Markus]

Min feil å ikke se de ekstra parantesene der - da blir svaret selvfølgelig det samme som det hadde vært skrevet med kun binomialkoeffisienter!

Fint vist med de lykkelige tallene!
For øvrig fra Abelfinalen 95/96.

[Emilga]

$(6) \enspace$ La $a_0 = 0$, $a_1=1$ og $a_n = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}$ for $n \geq 2$, hva er da siste siffer i $a_{2017}$?

Vi observerer at vi kan omskrive rekurrenslikningen som:
$
\begin{pmatrix}
3 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix}^n \begin{pmatrix}
a_{1} \\
a_{0}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{n+1} \\
a_{n}
\end{pmatrix}$

Koeffisientmatrisen $A$ har egenverdiene $\lambda = 1,2$.

Som gir oss egenvektormatrisen:

$P =\begin{pmatrix}
\frac 1{\sqrt{2}} & \frac 2{\sqrt{5}}\\
\frac 1{\sqrt{2}} & \frac 1{\sqrt{5}}
\end{pmatrix}$

Inversen av denne er:

$P^{-1} =\begin{pmatrix}
-\sqrt{2} & 2\sqrt{2}\\
\sqrt{5} & -\sqrt{5}
\end{pmatrix}$

Har videre $A^n = P\Lambda^nP^{-1}$:

$\begin{pmatrix}
a_{n+1} \\
a_{n}
\end{pmatrix} = P\Lambda^nP^{-1} \begin{pmatrix}
a_{1} \\
a_{0}
\end{pmatrix} = \ldots =\begin{pmatrix}
2^{n+1}-1 \\
2^n - 1
\end{pmatrix} $

Altså er $a_n = 2^n - 1$.

Toerpotensene $2^n$ med $n=1,2,3,\ldots$ har bakerste siffer: $2 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 6 \rightarrow 2 \rightarrow \ldots$ som har periodisitet 4.

$2017 = 2016 + 1 \sim 1$ mod 4. Altså har $2^{2017}$ bakerste siffer lik 2.

Altså er bakerste siffer til $a_{2017}$ lik $2-1 = 1$.