Maksimering

[Gustav]

Gitt at $a,b,c,d,e$ er reelle tall slik at

$a+b+c+d+e=8$ og
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16$,

bestem den maksimale verdien av $e$.

Edit:

Hint:

[+] Skjult tekst

Formulér problemet som en ulikhet i $e$. Her kan enten Cauchy-Schwarz'- eller Chebyshevs sum-ulikhet være til nytte.

[Markus]

Ved Cauchy-Schwarz:

$(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)\ge (a+b+c+d{)}^2$

$4(a^2+b^2+c^2+d^2)\ge (a+b+c+d{)}^2$

Bruker videre at $a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2$ og at $a+b+c+d=8-e$

$4(16-e^2)\ge (8-e{)}^2$

$64-4e^2\ge 64-16e+e^2$

$16e\ge 5e^2⟹\frac{16}{5}\ge e$

Altså er maksimumet til $e=\frac{16}{5}$

[Gustav]

Ved Cauchy-Schwarz:

$(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)\ge (a+b+c+d{)}^2$

$4(a^2+b^2+c^2+d^2)\ge (a+b+c+d{)}^2$

Bruker videre at $a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2$ og at $a+b+c+d=8-e$

$4(16-e^2)\ge (8-e{)}^2$

$64-4e^2\ge 64-16e+e^2$

$16e\ge 5e^2⟹\frac{16}{5}\ge e$

Altså er maksimumet til $e=\frac{16}{5}$

Meget bra, Markus!