Kommutativ ring

[Gustav]

La $R$ være en ring, og la $C=\{x\in R:xy=yx\mathrm{\forall }y\in R\}$. Vis at dersom $x^2-x\in C\mathrm{\forall }x\in R$, så er $R$ kommutativ.

[stensrud]

$1$ kommuterer med alle elementene i $R$, og for $x\ne 1,y\in R$ så er
$$(x^2-x)y=y(x^2-x)⟺(x-1)(xy-yx)=0⟹xy=yx.$$

[Gustav]

$1$ kommuterer med alle elementene i $R$, og for $x\ne 1,y\in R$ så er
$$(x^2-x)y=y(x^2-x)⟺(x-1)(xy-yx)=0⟹xy=yx.$$

Ser ikke helt hvordan du får de implikasjonene. Den siste gjelder vel kun for heltallsdomener, og den første forutsetter at $xy=yx$, noe du skal bevise.

[stensrud]

Ser ikke helt hvordan du får de implikasjonene. Den siste gjelder vel kun for heltallsdomener, og den første forutsetter at $xy=yx$, noe du skal bevise.

Hoooppsann, gikk litt fort i svingene der... Skal se om jeg får fiksa det litt senere.

[Gustav]

Hint:

[+] Skjult tekst

Vis at $xy+yx\in C$ for alle $x,y\in R$, og deretter at $x^2\in C$ for alle $x\in R$

[zzzivert]

1. $(x^2-x)y=y(x^2-x)\iff x^{2}y-y{x}^2=xy-yx$
2. $(y^2-y)x=x(y^2-y)\iff y^{2}x-x{y}^2=yx-xy$
3. $((x-y{)}^2-(x-y))y=y((x-y{)}^2-(x-y))\iff (x^{2}y-y{x}^2)+(y^{2}x-x^2)=xy-yx\Rightarrow 0=xy-yx$

[Gustav]

Ser bra ut!

Løste den for øvrig selv slik:

Lemma: $a,b\in C\Rightarrow a+b\in C$. Bevis: $ay=ya,by=yb\Rightarrow ay+by=ya+yb\Rightarrow (a+b)y=y(a+b)$. Likedan vil $a,a+b\in C\Rightarrow b\in C$.

Nå er $(x+y{)}^2-(x+y)\in C\Rightarrow (x^2-x)+(y^2-y)+xy+yx\in C$. Fra lemmaet vil derfor $xy+yx\in C$. Dermed er $(xy+yx)x=x(xy+yx)\Rightarrow x^{2}y=y{x}^2\Rightarrow x^2\in C$.

Til slutt er $(x^2-x)y=y(x^2-x)\Rightarrow xy=yx$.

[zzzivert]

En liten oppfølger:

La $R$ være en ring der $x^2=x\mathrm{\forall }x\in R$. Vis at $2x=0$.

[Gustav]

En liten oppfølger:

La $R$ være en ring der $x^2=x\mathrm{\forall }x\in R$. Vis at $2x=0$.

Denne var vel ganske triviell. $(2x{)}^2=2x\Rightarrow 4x^2=2x\Rightarrow 4x=2x\Rightarrow 2x=0$

[Gustav]

Oppfølger:

La $a,b$ være elementer i en gruppe med identitet $e$, slik at

1. $aba=b{a}^{2}b$,
2. $a^3=e$ og
3. $b^{2n-1}=e$ for et positivt heltall $n$.

Vis at $b=e$.

[zzzivert]

1. $b^{2}a=a{b}^2$
Bevis:
$(aba{)}^3=ab{a}^{2}b{a}^{2}ba=a(aba)a^{2}ba=a^2{b}^{2}a$
$(aba{)}^3=ab{a}^{2}b{a}^{2}ba=ab{a}^2(aba)a=a{b}^2{a}^2$
så $a^2{b}^{2}a=a{b}^2{a}^2$ og derfor $b^{2}a=a^2{b}^2{a}^2=a{b}^2$

2. $a^{2}ba=b^3$
Bevis:
$(aba{)}^{3n}=(b{a}^{2}b{)}^{3n}$
$(aba{)}^{3n}=((aba{)}^3{)}^n=(a^2{b}^{2}a{)}^n=a^2{b}^{2n}a=a^{2}ba$
$(b{a}^{2}b{)}^{3n}=b{a}^2{b}^2\cdots b^2{a}^{2}b=b{a}^{6n}{b}^{6n-1}=b^{6n}=b^3$ på grunn av (1).

3. $b=e$
Bevis:
$a^{2}ba=b^3\Rightarrow b{a}^{2}ba=b^4\Rightarrow ab{a}^2=b^4\Rightarrow a^{2}ba=b^5$
Fortsetter vi videre slik, kommer vi til $a^{2}ba=b^{2n-1}=e$.
$a^{2}ba=b^{2n-1}=e\Rightarrow ba=a\Rightarrow b=a^3=e$