Julekalender #19

[Gustav]

La $x=1,2,3$ være løsninger av ligningen $x^4+a{x}^2+bx+c=0$.

Bestem verdien av $a+c$.

[Kay]

Vet ikke om det skulle forstås slik at $x=1,2,3$ er de eneste løsningene?

La $f(x)=x^4+a{x}^2+bx+c$

da er

$f(1)=a+b+c+1=0$

$f(2)=4a+2b+c+16=0$

$f(3)=9a+3b+c+81=0$


Da får vi at

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& -1\\ 4& 2& 1& -16\\ 9& 3& 1& -81\end{array}\right)$

Anvender Gauss-Jordan og får $a=-25,b=60,c=-36\Rightarrow a+c=-61$

I dette tilfellet vil forøvrig $x=-6$ være en løsning av likninga.

[Gustav]

Selvsagt riktig!

En alternativ løsning er å bruke faktorteoremet for å uttrykke venstresida som et produkt av faktorer på formen $x-x_0$ der $x_0$ er løsninger.