En kule har sentrum i (1,3,5). Punktet P (4,-1,5) ligger på kuleflaten.
a) Bestem en likning for kuleflaten.
Et plan A tangerer kuleflaten i punktet p.
b) Vis at 3x-4y= 16 er en likning for planet A
En annen kule har sentrum i Q(2,0,7). Planet a tangerer også denne kuleflaten.
c) Bestem likning til den nye kuleflaten.
Hei er det noen som har et løsningsforslag på oppgave b og c . jeg fikk 2 som radius (oppg c) som svar og satte inn pkt Q(2,0,7)
Vektorer
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
For å bestemme en likning for ei kule trenger vi punktet [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex] og radien [tex]r[/tex]
Vi har punktene, så alt vi trenger å gjøre er å finne radien. Radien må jo nødvendigvis være lengden av den vektoren som går fra sentrum til kuleflaten, enig?
a)
[tex]\vec{SP}=P-S=(4,-1,5)-(1,3,5)=(3,-4,0)[/tex]
[tex]|\vec{SP}|=|(3,-4,0)=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{25}=5[/tex]
[tex](x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2[/tex]
Plotter inn verdiene vi har [tex](x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=25[/tex]
b)
denne kan gjennomføres på flere måter
Den enkleste mtp. R2 er at vi har at planet tangerer punktet p og dermed vil [tex]\vec{SP}[/tex] være en normalvektor til planet.
La [tex]\gamma[/tex] være et vilkårlig punkt i planet [tex]\gamma(x,y,z)[/tex], da må [tex]\vec{SP}\cdot \vec{P \gamma}=0[/tex] hvor [tex]P(x_0,y_0,z_0)=(4,-1,5)[/tex] og [tex]\vec{SP}(a,b,c)=(3,4,0)[/tex]
Da får vi at
[tex](x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot(a,b,c)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)[/tex]
[tex]3(x-4)-4(y+1)+0(z-5)=0[/tex]
[tex]3x-12-4y-4+0=0 \Leftrightarrow 3x-4y=16[/tex]
Eventuelt så har vi at:
[tex]f(x)=(x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2-25[/tex]
Så kan man si at [tex]\left (\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y},\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} \right )=\left ( 2x-2,2y-6,2z-10 \right )[/tex]
Da kan vi si at normalvektoren er gitt ved [tex]\vec{\nabla}{f(P)}=(2\cdot4-2, 2\cdot (-1)-6,2\cdot5-10)=(6,-8,0)=2(3,-4,0)[/tex]
Resten er bare repetisjon av samme regla. Denne brukes for såvidt oftest når en ikke kjenner sentrum av kula (selv om du enkelt kan finne det ut fra likninga).
i praksis får du da [tex]\nabla f(P)_{x}(x-x_0)+\nabla f(P)_y(y-y_0)+\nabla f(P)_z(z-z_0)[/tex]
Rekker ikke forklare c akkurat nå så får ta det senere
Vi har punktene, så alt vi trenger å gjøre er å finne radien. Radien må jo nødvendigvis være lengden av den vektoren som går fra sentrum til kuleflaten, enig?
a)
[tex]\vec{SP}=P-S=(4,-1,5)-(1,3,5)=(3,-4,0)[/tex]
[tex]|\vec{SP}|=|(3,-4,0)=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{25}=5[/tex]
[tex](x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2[/tex]
Plotter inn verdiene vi har [tex](x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=25[/tex]
b)
denne kan gjennomføres på flere måter
Den enkleste mtp. R2 er at vi har at planet tangerer punktet p og dermed vil [tex]\vec{SP}[/tex] være en normalvektor til planet.
La [tex]\gamma[/tex] være et vilkårlig punkt i planet [tex]\gamma(x,y,z)[/tex], da må [tex]\vec{SP}\cdot \vec{P \gamma}=0[/tex] hvor [tex]P(x_0,y_0,z_0)=(4,-1,5)[/tex] og [tex]\vec{SP}(a,b,c)=(3,4,0)[/tex]
Da får vi at
[tex](x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot(a,b,c)=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)[/tex]
[tex]3(x-4)-4(y+1)+0(z-5)=0[/tex]
[tex]3x-12-4y-4+0=0 \Leftrightarrow 3x-4y=16[/tex]
Eventuelt så har vi at:
[tex]f(x)=(x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2-25[/tex]
Så kan man si at [tex]\left (\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y},\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} \right )=\left ( 2x-2,2y-6,2z-10 \right )[/tex]
Da kan vi si at normalvektoren er gitt ved [tex]\vec{\nabla}{f(P)}=(2\cdot4-2, 2\cdot (-1)-6,2\cdot5-10)=(6,-8,0)=2(3,-4,0)[/tex]
Resten er bare repetisjon av samme regla. Denne brukes for såvidt oftest når en ikke kjenner sentrum av kula (selv om du enkelt kan finne det ut fra likninga).
i praksis får du da [tex]\nabla f(P)_{x}(x-x_0)+\nabla f(P)_y(y-y_0)+\nabla f(P)_z(z-z_0)[/tex]
Rekker ikke forklare c akkurat nå så får ta det senere