Har litt hjerneteppe her etter en hel juleferie uten matematikk (hehe), hvordan vet jeg hva som er topp- og bunnpunkt av de ekstremalpunktene jeg har regnet ut?
topp- og bunnpunkt trigonometriske funksjoner
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
mattenøtta
- Cantor
- Posts: 126
- Joined: 14/08-2017 15:15
Hei!
Har litt hjerneteppe her etter en hel juleferie uten matematikk (hehe), hvordan vet jeg hva som er topp- og bunnpunkt av de ekstremalpunktene jeg har regnet ut?
Har litt hjerneteppe her etter en hel juleferie uten matematikk (hehe), hvordan vet jeg hva som er topp- og bunnpunkt av de ekstremalpunktene jeg har regnet ut?
-
Guest
Anta at vi har en funksjon $\;f$ definert ved $\;f(x) = \sin(x) \qquad x \in [0, 2\pi]$.
Vi deriverer $\;f$ og får $\;f'(x)=\cos(x)$.
Vi vet at $\cos(x) = 0$ for $x = \frac{\pi}{2}$ og $x = \frac{3\pi}{2}$ på intervallet vi studerer.
Hvilke av disse gir et makspunkt og minpunkt?
For trigonometriske funksjoner er det ofte enkelt å bare sette inn verdiene i den opprinnelige funksjonen $\;f$.
Vi sjekker:
[tex]f\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) = \sin\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) = 1[/tex]
[tex]f\bigg(\frac{3\pi}{2}\bigg) = \sin\bigg(\frac{3\pi}{2}\bigg) = -1[/tex].
Vi ser altså at makspunktet vårt er [tex]\bigg(\frac{\pi}{2}, 1\bigg)[/tex] og minpunktet vårt er [tex]\bigg(\frac{3\pi}{2}, -1\bigg)[/tex]
Vi kan også derivere funksjonen en gang til. [tex]f''(x) = -\sin(x)[/tex].
Siden [tex]f''\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) < 0[/tex] må [tex]x = \frac{\pi}{2}[/tex] angi et makspunkt.
Siden [tex]f''\bigg(\frac{3\pi}{2}\bigg) > 0[/tex], så må [tex]x = \frac{3\pi}{2}[/tex] angi et minpunkt.
Vi deriverer $\;f$ og får $\;f'(x)=\cos(x)$.
Vi vet at $\cos(x) = 0$ for $x = \frac{\pi}{2}$ og $x = \frac{3\pi}{2}$ på intervallet vi studerer.
Hvilke av disse gir et makspunkt og minpunkt?
For trigonometriske funksjoner er det ofte enkelt å bare sette inn verdiene i den opprinnelige funksjonen $\;f$.
Vi sjekker:
[tex]f\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) = \sin\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) = 1[/tex]
[tex]f\bigg(\frac{3\pi}{2}\bigg) = \sin\bigg(\frac{3\pi}{2}\bigg) = -1[/tex].
Vi ser altså at makspunktet vårt er [tex]\bigg(\frac{\pi}{2}, 1\bigg)[/tex] og minpunktet vårt er [tex]\bigg(\frac{3\pi}{2}, -1\bigg)[/tex]
Vi kan også derivere funksjonen en gang til. [tex]f''(x) = -\sin(x)[/tex].
Siden [tex]f''\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) < 0[/tex] må [tex]x = \frac{\pi}{2}[/tex] angi et makspunkt.
Siden [tex]f''\bigg(\frac{3\pi}{2}\bigg) > 0[/tex], så må [tex]x = \frac{3\pi}{2}[/tex] angi et minpunkt.
-
Guest
Det siste der kalles uformelt for den "andrederivertetesten". Den sier rett og slett at hvis vi har et punkt [tex]c \in \mathbb{R}[/tex] og [tex]f'(c) = 0[/tex] ([tex]c[/tex] kalles gjerne for et kritisk punkt) så er [tex](c,f(c))[/tex] er lokalt maksimumspunkt hvis [tex]f''(c) < 0[/tex] og et lokalt minimumspunkt hvis [tex]f''(c) > 0[/tex]
Eventuelt så kan du bare sjekke fortegnet til den deriverte før og etter det kritiske punktet.
La $f(x)$ være en kontinuerlig deriverbar funksjon. La videre $(c,f(c))$ være et kritisk punkt på grafen til $f(x)$, og la $\epsilon$ være en vilkårlig liten verdi $>0$. Da har vi at
- Hvis $f'(c-\epsilon)>0$ og $f'(c+\epsilon)<0$ er $(c,f(c))$ et toppunkt.
- Hvis $f'(c-\epsilon)<0$ og $f'(c+\epsilon)>0$ er $(c,f(c))$ et bunnpunkt.
- Hvis både $f'(c-\epsilon) > 0$ og $f'(c+\epsilon)>0$, eller hvis både $f'(c-\epsilon)<0$ og $f'(c+\epsilon)<0$, er $(c,f(c))$ et terassepunkt.
Edit: Mulig det ble litt teknisk, men poenget er at hvis grafen for eksempel stiger (hvilket betyr at den deriverte er positiv) mot et punkt $(c,f(c))$, og synker etter dette punktet (hvilket betyr at den deriverte er negativ), så vil $(c,f(c))$ være et lokalt maksimum, eller et toppunkt om du vil.
Edit 2: ser nå at tittel spurte om spesielt trig. funksjoner. Metoden over vil fungere fortsatt, men den er mer generell. For trig funksjoner er det enda enklere med enhetssirkelen, gitt at vi snakker om "rene" cos/sin/tan-funksjoner. Av enhetssirkelen er det veldig klart når sinus og cosinus har sin maksimalverdi, og likt sin minimalverdi. Når du først har funnet et toppunkt/bunnpunkt har du funnet "alle", da disse funksjonene er periodiske.
La $f(x)$ være en kontinuerlig deriverbar funksjon. La videre $(c,f(c))$ være et kritisk punkt på grafen til $f(x)$, og la $\epsilon$ være en vilkårlig liten verdi $>0$. Da har vi at
- Hvis $f'(c-\epsilon)>0$ og $f'(c+\epsilon)<0$ er $(c,f(c))$ et toppunkt.
- Hvis $f'(c-\epsilon)<0$ og $f'(c+\epsilon)>0$ er $(c,f(c))$ et bunnpunkt.
- Hvis både $f'(c-\epsilon) > 0$ og $f'(c+\epsilon)>0$, eller hvis både $f'(c-\epsilon)<0$ og $f'(c+\epsilon)<0$, er $(c,f(c))$ et terassepunkt.
Edit: Mulig det ble litt teknisk, men poenget er at hvis grafen for eksempel stiger (hvilket betyr at den deriverte er positiv) mot et punkt $(c,f(c))$, og synker etter dette punktet (hvilket betyr at den deriverte er negativ), så vil $(c,f(c))$ være et lokalt maksimum, eller et toppunkt om du vil.
Edit 2: ser nå at tittel spurte om spesielt trig. funksjoner. Metoden over vil fungere fortsatt, men den er mer generell. For trig funksjoner er det enda enklere med enhetssirkelen, gitt at vi snakker om "rene" cos/sin/tan-funksjoner. Av enhetssirkelen er det veldig klart når sinus og cosinus har sin maksimalverdi, og likt sin minimalverdi. Når du først har funnet et toppunkt/bunnpunkt har du funnet "alle", da disse funksjonene er periodiske.