Syvsifret tall (inspirert av et abelkonkurranseproblem)

[Gustav]

a) Hvor mange syvsifrede tall kan lages ved å bytte om på sifrene i 1234567 slik at hvert partallssiffer har nøyaktig ett partallssiffer ved siden av seg?

[Markus]

Dette er vel en variant av en fra årets runde 2?
Under selve runden klarte jeg å bare telle $5$ oppstillinger som oppfylte kriteriet, men det var i realiteten $6$, så fikk $720$ istedenfor $864$, som var det korrekte svaret. Hva synes du om årets runde 2?

Hvis jeg ikke har misforstått oppgaven, er svaret $0$. Hvis hvert partallssiffer skal ha nøyaktig ett partallssiffer ved siden av seg må de opptre i par, separert av oddetall. Da må altså antall partall være et partall. Siden det kun er $3$ partall i $1234567$, vil et av partallene være alene, eller et av partallene vil ha $2$ partall ved siden av seg. Altså, finnes det ingen permutasjoner av $1234567$ som oppfyller kriteriet.

[Aleks855]

Det er vel ingen?

Hvis alle partall skal ha ETT partall ved siden av seg, så må to og to stå ved hverandre med ett eller flere oddetall mellom parene, men gitt at det er et odde antall partall, så vil et av dem stå alene.

[Gustav]

Selvsagt riktig