Grenseverdi

[Kay]

Evaluer $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})$

Edit: så jeg skrev grensen når x går mot uendelig, liten derp der.

[DennisChristensen]

Evaluer $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})$

Vi kan skrive summen som et Riemann-integral:
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{n}{n^2+i^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{i}{n}\right)}^2}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}=\arctan (1)-\arctan (0)=\frac{\pi }{4}.$$

[Kay]

Evaluer $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})$

Vi kan skrive summen som et Riemann-integral:
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{n}{n^2+i^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{i}{n}\right)}^2}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}=\arctan (1)-\arctan (0)=\frac{\pi }{4}.$$

Rent og pent løst, rimelig planke det der tenker jeg, hva med en liten oppfølger?

Evaluer nesten samme greia, men uten å bruke Riemann-summen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n})$

[DennisChristensen]

Evaluer $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})$

Vi kan skrive summen som et Riemann-integral:
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{n}{n^2+i^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{i}{n}\right)}^2}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}=\arctan (1)-\arctan (0)=\frac{\pi }{4}.$$

Rent og pent løst, rimelig planke det der tenker jeg, hva med en liten oppfølger?

Evaluer nesten samme greia, men uten å bruke Riemann-summen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n})$

La $$s_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}.$$

Definér $${\gamma }_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\log n=H_n-\log n.$$ Integraltesten viser at ${\gamma }_n$ konvergerer (dens grenseverdi kalles Eulers konstant). Dermed får vi:

$$s_n=H_{2n}-H_n=({\gamma }_{2n}+\log (2n))-({\gamma }_n+\log n)=\log 2+{\gamma }_{2n}-{\gamma }_n\to \log 2.$$

[stensrud]

Alternativt: (Bruk samme notasjon som Dennis). Vi har $s_{n+1}-s_n=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$, som ved induksjon gir
$$s_n=\sum _{k=1}^{2n}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}.$$
Da er vi omtrent ferdige siden Maclaurinrekka til $\log (1+x)$ er
$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{k}.$$

[Kay]

Fine løsninger fra begge to!