Forskjellige verdier etter forkortelse av rasjonale uttrykk

[tobiasnmf]

Det rasjonale uttrykket $\frac{x^3+x-2}{x-1}$ er ikke definert når $x=1$, siden nevner blir null.

Så forkorter jeg uttrykket: $\frac{x^3+x-2}{x-1}=x^2+x+2$

når $x=1$ er
$x^2+x+2=4$

Det gir ingen mening for meg at du skal få forskjellige verdier for et uttrykk og det samme, men forkortede uttrykket. Kan noen forklare meg hvorfor uttrykkene gir forskjellige verdier etter forkortelse? Eller skulle forkortelsen egentlig ha blitt $x^2+x+2=4$ (for $x\ne 1$), slik som Wolfram Alpha skriver det?

[Tobiasnmf]

Eller skulle forkortelsen egentlig ha blitt $x^2+x+2=4$ (for $x\ne 1$), slik som Wolfram Alpha skriver det?

Mente selvfølgelig $x^2+x+2$ (for $x\ne 1$)

[Fysikkmann97]

$$\begin{gathered} a=b \\ a-b=b-b \\ \frac{a-b}{a-b}=0 \\ 1=0 \end{gathered}$$

Ser du hvorfor dette blir feil? Jo, du starter med a = b, altså a - b = 0, som jeg deler likningen på i tredje linje, og er en ulovlig operasjon (altså dele noe på null).
Det er ikke det samme uttrykket. Du har forkortet to faktorer i nevner og teller med hverandre. Ditt opprinnelige uttrykk kan faktoriseres som:

$\frac{(x-1)(x^2+x+2)}{x-1}$
som for x = 1 blir
$\frac{0\ast 4}{0}=\frac{0}{0}$

Forkorter du da den faktoren vil du få 4 i det nye uttrykket, men det er her viktig at det ikke samsvarer med det opprinnelige uttrykket, da du ikke har fulgt alle reglene.
Altså: Ja, ved forkorting vil uttrykkene gi de samme verdiene, så lenge nevneren er ulik null ( siden a/a = 1, så lenge a ikke er null).

[Tobiasnmf]

Takk for svar!

da du ikke har fulgt alle reglene

Hvilke regler er det jeg ikke fulgte?

Og er de to uttrykkene like når du tar med at $x\ne 1$ for den forkortede brøken?
Altså $\frac{x^3+x-2}{x-1}=x^2+x+2$, $x\ne 1$

Isåfall så må jeg si at jeg virkelig ikke liker Sinus R1. Det står jo ingenting om definisjonsområde/domene (eller hva det nå enn heter) og slikt i kapittelet der du lærer å forkorte slike uttrykk, og da er vel fasitene i boken også feil, siden de ikke står med definisjonsområdet.


Fant noe på nett om det her: http://www.purplemath.com/modules/polydiv.htm
De forkorter $\frac{21x^3-35x^2}{7x}$ til $3x^2–5x$

For the simplified form to be mathematically equal to the original expression, the simplified form would need to be "$3x^2–5x$, for all $x\ne 0$".

[Fysikkmann97]

Hvilke regler er det jeg ikke fulgte?

Når x = 1 er gjelder ikke likheten $\frac{x^3+x-2}{x-1}=x^2+x+2$. Dette skyldes at man på VS deler på 0, noe som er en ulovlig operasjon. Av uttrykket som sådan ser man at de er like for alle verdier av x, med unntak av$x=1$, ja.

Isåfall så må jeg si at jeg virkelig ikke liker Sinus R1. Det står jo ingenting om definisjonsområde/domene (eller hva det nå enn heter) og slikt i kapittelet der du lærer å forkorte slike uttrykk, og da er vel fasitene i boken også feil, siden de ikke står med definisjonsområdet.

Det er ikke ved forkorting av uttrykk problemet med definisjonsområde oppstår. Det er når du jobber med likninger (som har rasjonale uttrykk) du bør passe på å ikke dele på noe som er null, og derav få en falsk løsning. Det er godt mulig boken heller har en gjennomgang i de kapitlene, evt. ved funksjonsdrøfting.

Fant noe på nett om det her: http://www.purplemath.com/modules/polydiv.htm
De forkorter $\frac{21x^3-35x^2}{7x}$ til $3x^2–5x$

For the simplified form to be mathematically equal to the original expression, the simplified form would need to be "$3x^2–5x$, for all $x\ne 0$".

Det er korrekt. Ta ditt opprinnelige uttrykk, hvor nevneren er $(x-1)$. Du ønsker å sjekke om nevneren for noen verdier for x tilfredsstiller $x-1=0$, som har løsningen $x=1$. På samme måte har uttrykket som er sitert har løsning $x=0$, siden $7\ast 0=0$.