Integral

[Kay]

Vis at ${\int }_{-1}^1{x}^{2n-1}\sqrt{1-x^2}dx=0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\ge 1$

Sorry hvis mengdenotasjonen er feil

[alund]

Integranden er en odde funksjon: hvis $f(x)=x^{2n-1}\sqrt{1-x^2}$, så er $f(-x)=-f(x),\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
Derfor er ${\int }_{-1}^{0}f\text{d}x=-{\int }_0^{1}f\text{d}x$, slik at ${\int }_{-1}^{0}f\text{d}x+{\int }_0^{1}f\text{d}x={\int }_{-1}^{1}f\text{d}x=0$.

[Kay]

Integranden er en odde funksjon: hvis $f(x)=x^{2n-1}\sqrt{1-x^2}$, så er $f(-x)=-f(x),\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
Derfor er ${\int }_{-1}^{0}f\text{d}x=-{\int }_0^{1}f\text{d}x$, slik at ${\int }_{-1}^{0}f\text{d}x+{\int }_0^{1}f\text{d}x={\int }_{-1}^{1}f\text{d}x=0$.

Det var en metode jeg ikke hadde tenkt på, ser riktig ut med mindre jeg går glipp av noe! Bra