Lagrans metode, hvordan finne maks og min?

[Guest]

Hei,
Kunne noen forklare hvordan man ved bruk av langrensformelen finner maks og min til denne? Altså oppgave b):

https://imgur.com/a/dOqJ2

[Guest]

oppgave b) er kanksje umulig å løse, eller er det feil?

[Mentos]

For å finne maksimum og minimum til $f$ med begrensningen $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$ løser du ligningsystemet

$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }f(x,y)& =\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y)\\ g(x,y)& =0\end{array}$

Her er $\lambda$ bare en "dummy" variabel, ofte kalt Lagrangemultiplikatoren. Det kan vises at maksimum/minimum til en funksjon med en underordnet begrensning (I dette tilfelle at det skal ligge på randen gitt ved $g(x,y)=0$) må tilfredsstille et slikt system av ligninger, men det er ukjent hvilken verdi $\lambda$ vil ta, så den brukes kun i utregningen av ligningsystemet.

[Guest]

$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }f(x,y)& =\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y)\\ g(x,y)& =0\end{array}$

Da får jeg:
$x=1$ og $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
og innsatt i $f(x,y)$, gir meg hhv.
[tex]f(1, \frac{\sqrt{3}}{2})=- \frac{1}{2}+\frac{sqrt{1.5}[/tex]
og
[tex]f(1, - \frac{\sqrt{3}}{2})=- \frac{1}{2}-\frac{sqrt{1.5}[/tex]

Er det riktig? Jeg har aldri løst de før, derfor jeg spør.

[Guest]

kan noen vise hvordan man løser den trinn for trinn?

[Guest]

(0,1) makspunkt
(0,-1) min punkt
derfor f(0,1)=1 maksverdi
f(0,-1)=-1 minimum verdi

stemmer det?

[Mentos]

Hvis du sjekker så er vel ikke dette løsninger til ligningsystemet. Jeg ville løst de lineære først, altså $x$ og $y$ uttrykt ved $\lambda$. Deretter finner du $\lambda$, som løsning på den kvadratiske (her vil du få 2 løsninger). Bruk så disse for å få alle løsningene av $x$ og $y$. Husk at det er gradientene som skal være lik hverandre, skriver opp hele ligningsystemet så kan du sjekke om det matcher ditt.

$\begin{array}{rl}1-2x& =2\lambda x\\ 1-2y& =2\lambda y\\ x^2+y^2& =1\end{array}$

[Guest]

Da får jeg er stygt uttrykk som dette, er det meningen at det skal være slik?

$(\frac{1}{2\lambda +2}{)}^2+(\frac{1}{2\lambda +2}{)}^2=1$

[Guest]

Altså får jeg:

$\lambda =\frac{\sqrt{2}-2}{2}$

$\lambda =-\frac{\sqrt{2}+2}{2}$

Er det riktig hittil? Hva gjør jeg etter dette?

[Guest]

Jeg får to punkter:

$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$

$(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$

Stemmer det hittil?

Er det kun to? Eller flere? Hvordan vet jeg om det er flere?

Og hva gjør jeg videre? Skal jeg sette:

$f(x,y)=\lambda g(x,y)$, der x og g er punktene over?

[Guest]

jeg mente, at dersom jeg setter inn i den opprinnelige f (x,y) funksjonen min, så får jeg som svar at:

Toppunkt: $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ med maks verdi:
$f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{2}}$

Og bunn punkt $(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}})$ med min.-verdi:
$f(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}})=\frac{-2}{\sqrt{2}}$

Er det riktig?

[Mentos]

jeg mente, at dersom jeg setter inn i den opprinnelige f (x,y) funksjonen min, så får jeg som svar at:

Toppunkt: $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ med maks verdi:
$f(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{2}}$

Og bunn punkt $(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}})$ med min.-verdi:
$f(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}})=\frac{-2}{\sqrt{2}}$

Er det riktig?

Ser bra ut.

[Guest]

takk for svar