trigonometri

[mattenøtta]

I en trekant ABC er <A = 30 grader, <B=45 grader og siden AC = a. Normalen fra C på AB skjærer AB i E.
a) Bestem AE, BC og AB uttrykt ved a.
Mitt svar: [tex]AE=\frac{a\sqrt{3}}{2} , BC = \frac{a\sqrt{2}}{2}, AB = \frac{(1+\sqrt{3})a}{2}[/tex]
b) Normalen fra B på AC skjærer forlengelsen av AC i D. Finn D uttrykt ved a.
Mitt svar: [tex]CD = \frac{a(\sqrt{3}-1)}{4}[/tex]
c) Et kvadrat KLMN er innskrevet i trekanten ABC. Hjørnene K og L ligger på AB, hjørnet M på BC og hjørnet N på AC. Finn siden i kvadratet uttrykt ved a.

Jeg vet ikke hvordan jeg skal gjøre c?

[Mattebruker]

La s vere sida i kvadratet. Då ser vi at

<ANM = ( 60 + 90 ) grader = 150 grader og AN =s/cos( 60 ) = 2s/rota av ( 3 )

BM = s/cos(45 grader) = s * rota av ( 2 )

Finn s.

Cosinussetninga gir

(AN)[tex]^2[/tex] + (MN)[tex]^2[/tex] - 2 * AN * MN *cos(<ANM) = (AB)[tex]^2[/tex] + (BM)[tex]^2[/tex] -2 * AB * BM * cos(<B)

Eit godt råd ! Bruk CAS når du løyser likninga ovanfor. Huga at dette verktøyet kjem ut med den eksakte løysinga.

[mattenøtta]

Takk!

[Mattebruker]

Elementær reknefeil: AN = s/cos( 60 grader ) = 2 s ( ikkje 2s/rota av 3 )

Svar punkt c: s = a/6 * (rota av (3*( rota av ( 3 ) + 4) - rota av ( 3 ) )

Skal tru om dette stemmer ?

[Mattebruker]

Punkt c: Alternativ og enklare løysing.

Det innskrivne kvadratet har side MN = x.

Trekantane ABC og NMC er formlike.

Finn MN.

MN/AB = NC/AC som gir x/a/2(rota av ( 3) + 1 ) = (AC - AN)/AC = (a - 2x)/a . Løyser likninga m.o.p. x , og får

x = a * (rota av ( 3 ) - 1)/2

Svar: Kvadratet KLMN har side MN = x = a* (rota av ( 3 ) - 1)/2