R1 tentamen - parallelle vektorfunksjojer

[R1 tentamen...]

Hadde R1 tentamen i dag hvor vi fikk en vanskelig DEL 2 oppgave.

Gikk to vektorfunksjoner:

P(t)=[5t-13, 5t-8], t element [0,3]
R(t)=[tˆ3-9t, tˆ2-4], t elememt [0,3]

Undersøk om vektorfunksjoenen noen gang går i samme retning (er parallelle).

Hvordan løser man en slik oppgave?????!!!???

PS: På forhånd takk for svar!!!

[DennisChristensen]

Hadde R1 tentamen i dag hvor vi fikk en vanskelig DEL 2 oppgave.

Gikk to vektorfunksjoner:

P(t)=[5t-13, 5t-8], t element [0,3]
R(t)=[tˆ3-9t, tˆ2-4], t elememt [0,3]

Undersøk om vektorfunksjoenen noen gang går i samme retning (er parallelle).

Hvordan løser man en slik oppgave?????!!!???

PS: På forhånd takk for svar!!!

Vi ønsker å undersøke om det finnes $s,t \in [0,3]$ og $0\neq k\in\mathbb{R}$ slik at $P'(t) = kR'(s).$ Altså om $$[5,5] = k[3s^2 -9, 2s],$$ hvilket er ekvivalent med at det finnes $k$ slik at $$[1,1] = k[3s^2 - 9, 2s].$$ Vi ser enkelt at $s=0$ ikke vil gi noen løsning, så anta at $s\neq 0$. Likningen for $y$-koordinaten forteller oss at $k = \frac{1}{2s}.$ Substituerer vi dette inn i likningen for $x$-koordinaten får vi at $$1=\frac{1}{2s}\left({3s^2} - 9\right)$$ $$2s = 3s^2 - 9$$ $$3s^2 - 2s - 9 = 0$$ $$s = \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4\cdot 3(-9)}}{2\cdot 3} = \frac{2\pm\sqrt{112}}{6} = \frac{1\pm 2\sqrt{7}}{3}.$$ Ettersom $\frac{1+2\sqrt{7}}{3} \in [0,3]$, har vi at funksjonene er parallelle for denne $s$-verdien.

[R1 Tentamen...]

Takk! Hvorfor bruker du de deriverte og ikke selve vektorfunksjonen?

[DennisChristensen]

Takk! Hvorfor bruker du de deriverte og ikke selve vektorfunksjonen?

Vi ønsker at funksjonene skal være parallelle, altså at deres retningsvektorer er parallelle. Men vi vet at hvis $F$ er en vektorfunksjon, så tangerer alltid $F’$ kurven til $F$. Altså er $F’$ parallell med retningsvektoren til $F$. Derfor sjekker vi om $P’$ og $R’$ er parallelle.