Mystiske overganger i P.C. Matthews "Vector Calculus"

[erikalexander]

På side 47 starter han med å skrive

$f(x)=f(a)+\frac{df}{dx}(a)(x-a)+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(a)\frac{(x-a{)}^2}{2!}+...$

Så setter han $\mathrm{\Delta }x=(x-a),\mathrm{\Delta }f=f(x)-f(a)$, flytter $f(a)$-leddet over til venstresiden og skriver $\mathrm{\Delta }f=\frac{df}{dx}\mathrm{\Delta }x+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{2!}+...$

Plutselig har $\frac{df}{dx}(a)$ - et tall - blitt til $\frac{df}{dx}$ - en funksjon. Hva skjer her?

Videre skriver han at for funksjoner av tre variable har vi

$\mathrm{\Delta }f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta }y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{\Delta }z+...$

der alle de uendelig mange leddene er tatt med, men legger til "In the following sections we will make use of the Taylor series for a function f(x,y,z) of three variables, but in all cases only the linear terms ... will be needed".

Okei, men .. hvorfor? Er det selvsagt?

Allerede på neste side bruker han dette til å skrive $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$ uten uendelig mange etterfølgende ledd. Hvorfor kan han gjøre det? Er alle de andre leddene null?

[Gustav]

På side 47 starter han med å skrive

$f(x)=f(a)+\frac{df}{dx}(a)(x-a)+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(a)\frac{(x-a{)}^2}{2!}+...$

Så setter han $\mathrm{\Delta }x=(x-a),\mathrm{\Delta }f=f(x)-f(a)$, flytter $f(a)$-leddet over til venstresiden og skriver $\mathrm{\Delta }f=\frac{df}{dx}\mathrm{\Delta }x+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{2!}+...$

Plutselig har $\frac{df}{dx}(a)$ - et tall - blitt til $\frac{df}{dx}$ - en funksjon. Hva skjer her?

Ingenting magisk har skjedd, det er bare at notasjonen kanskje er litt uklar. Det er kanskje tydeligere hvis man omdøper $a$ til $x$, og $x-a$ til $\mathrm{\Delta }x$, hvilket gir

$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+\frac{df}{dx}(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2!}+...$

Deretter forkorter vi skrivemåten: $\frac{df}{dx}(x)=\frac{df}{dx}$ og lar $\mathrm{\Delta }f=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

På det andre spørsmålet: Om en liten omegn om x=a, vil funksjonen kunne tilnærmes ganske bra utfra tangenten til f i punktet x=a.

[erikalexander]

Ingenting magisk har skjedd, det er bare at notasjonen kanskje er litt uklar. Det er kanskje tydeligere hvis man omdøper $a$ til $x$, og $x-a$ til $\mathrm{\Delta }x$, hvilket gir

$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+\frac{df}{dx}(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2!}+...$

Deretter forkorter vi skrivemåten: $\frac{df}{dx}(x)=\frac{df}{dx}$ og lar $\mathrm{\Delta }f=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

Denne var jeg ikke helt med på. Dersom man lar $a=x$ og $x-a=\mathrm{\Delta }x\to x=\mathrm{\Delta }x+a=\mathrm{\Delta }x+x$ og setter det rett inn i $f(x)=f(a)+\frac{df}{dx}(a)(x-a)+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(a)\frac{(x-a{)}^2}{2!}+...$ så kan jeg være enig i at det blir

$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+\frac{df}{dx}(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{2!}+...$

Men nå er $\mathrm{\Delta }x=0$ og vi får $f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)$ og $\mathrm{\Delta }f=0$. I tillegg kan vel ikke x'en i $\frac{df}{dx}$ være den samme x'en som vi omdøpte $a$ til å være. I så fall er $\frac{df}{dx}(a)=\frac{df}{dx}(x)=\frac{df}{dx}$ og vipps ble et tall til en funksjon. Håper dette viser hva som ligger i forvirringen min.

På det andre spørsmålet: Om en liten omegn om x=a, vil funksjonen kunne tilnærmes ganske bra utfra tangenten til f i punktet x=a

Ja, men det er fortsatt bare en tilnærming. Dersom dette er sant $\mathrm{\Delta }f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta }y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{\Delta }z+...$, så er $\mathrm{\Delta }f\approx \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta }y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{\Delta }z$. I grensen $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z,\mathrm{\Delta }f\to 0$ så bør det bli $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz+...$ med $df\approx \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$.

Hvis ikke så har man både $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz+...$ og $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$ og det kan neppe stemme. Men takk for svar.

[Gustav]

Ingenting magisk har skjedd, det er bare at notasjonen kanskje er litt uklar. Det er kanskje tydeligere hvis man omdøper $a$ til $x$, og $x-a$ til $\mathrm{\Delta }x$, hvilket gir

$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+\frac{df}{dx}(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{2!}+...$

Deretter forkorter vi skrivemåten: $\frac{df}{dx}(x)=\frac{df}{dx}$ og lar $\mathrm{\Delta }f=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

Denne var jeg ikke helt med på. Dersom man lar $a=x$ og $x-a=\mathrm{\Delta }x\to x=\mathrm{\Delta }x+a=\mathrm{\Delta }x+x$ og setter det rett inn i $f(x)=f(a)+\frac{df}{dx}(a)(x-a)+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(a)\frac{(x-a{)}^2}{2!}+...$ så kan jeg være enig i at det blir

$f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)+\frac{df}{dx}(x)\mathrm{\Delta }x+\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2}{2!}+...$

Men nå er $\mathrm{\Delta }x=0$ og vi får $f(x+\mathrm{\Delta }x)=f(x)$ og $\mathrm{\Delta }f=0$. I tillegg kan vel ikke x'en i $\frac{df}{dx}$ være den samme x'en som vi omdøpte $a$ til å være. I så fall er $\frac{df}{dx}(a)=\frac{df}{dx}(x)=\frac{df}{dx}$ og vipps ble et tall til en funksjon. Håper dette viser hva som ligger i forvirringen min.

For å oppklare: La først $x\to \mathrm{\Delta }x+a$, deretter $a\to x$ der den opprinnelig $x$ er uavhengig av den $x$ som $a$ omdøpes til, slik at $\mathrm{\Delta }x\ne 0$.