difflikning

[mattenøtta]

Vi har gitt differensiallikningen y’=x+y .

a Finn likningen for tangenten til integralkurven gjennom punktet (1,2) .

b Finn den generelle løsningen til differensiallikningen.

c Finn den spesielle løsningen der x=2 er et av nullpunktene.

d Tenk deg at du skulle ha tegnet retningsdiagrammet til differensiallikningen.
Hvor i retningsdiagrammet hadde du plassert alle de vannrette tangentene?


Har fått til b og c, men skjønner ikke helt hva oppgava vil at jeg skal gjøre i a og d?

[Markus]

a) Tangentlikningen er $y-y_1=a(x-x_1)$. Punktene $x_1$ og $y_1$ har du fått oppgitt, og med differensiallikningen har du et uttrykk for stigningtallet $a$.
Vi får at $x_1=1,y_1=2$ og $a=x_1+y_1=3$, altså blir tangentlikningen $$y-2=3(x-1)\therefore y=3x-1$$
d) Husk på at en tangent sier noe om stigningstallet i det punktet. Hvis tangenten er vannrett, er det ingen stigning, altså er stigningstallet $0$. Hvilke punkt på en graf kjennetegnes ved at stigningstallet er $0$? Ser du veien videre selv?

[mattenøtta]

Når jeg prøver å finne y'=0 får jeg x=2-ln3, men skjønner ikke hvordan jeg skal gå videre?

[Markus]

Jeg tolker oppgave d) som et mer konseptuelt spørsmål. Altså hvor er de vannrette tangentene generelt? Jeg mener da at de vannrette tangentene er på de mulige ekstremalpunktene til funksjonen, som er bestemt utifra "diff.likning-konstanten". Forsto du hva jeg mente, eller ble det uklart?

[mattenøtta]

nei, kan ikke si at jeg skjønte så mye ...

[Markus]

nei, kan ikke si at jeg skjønte så mye ...

Da prøver vi en gang til

Vi har differensiallikningen $y^{\prime }=y+x$. Løser vi denne får vi at $y=C{e}^x-x-1$. Som du sikkert vet fra før av er dette en generell løsning av differensiallikningen. Vi trenger en initialbetingelse for å få en spesiell løsning, der konstanten $C$ er byttet ut med et reellt tall. Med andre ord, for hver verdi av konstanten får vi en spesiell løsning. På bildet under kan du se de spesielle løsningene for henholdsvis $C=-2$, $C=-1$, $C=1$ og $C=2$.


Grafen til en spesiell løsning kaller vi en integralkurve. På bildet ser vi altså fire integralkurver - sammen danner de en kurveskare som gir oss et bilde av den generelle løsningen på diff.likningen. Nå, hva har dette med et retningsdiagram å gjøre? Jo - et retningsdiagram består av små linjestykker, som viser stigningen for tangenten til integralkurvene i mange punkter. Hvis vi tegner retningdiagramet til $y^{\prime }=x+y$ vil vi altså få stigningstallene til de ulike integralkurvene til difflikningen $y^{\prime }=x+y$ i forskjellige punkter. Under ser du et bilde av retningsdiagrammet til $y^{\prime }=x+y$, sammen med integralkurvene for $C=1$ og $C=2$. Ser du at retningsdiagrammet stemmer med integralkurvene?


Tilbake til oppgaven; hvor i retningsdiagrammet ville du plassert de vannrette tangentene? Først og fremst; hvor finner vi de vannrette tangentene for funksjoner generelt? Det er i toppunkt, bunnpunkt og terassepunkt - for der er stigningen null, altså er det ingen stigningstall på tangenten - den er vannrett. Som du ser klart av bildene jeg har vedlagt er bunnpunktet forskjellig plassert utifra hvilken konstant C vi velger. Siden et retningdiagram viser stigningstallet til tangentene til FLERE forskjellige integralkurver, er det ikke her snakk om et bestemt koordinat. Det oppgaven spør om er hvor vi GENERELT vil finne de vannrette tangentene.

Det er for så vidt også relevant å legge merke til at det ikke er noen ekstremalpunkt for integralkurvene der $C$ er et negativt tall.

Ble det litt klarere nå?