uendelig rekke

[mattenøtta]

har vedlagt bilde av oppgava

Jeg lurer på oppgave c. Hva mener de med at rekka skal konvergere mot a?

[DennisChristensen]

har vedlagt bilde av oppgava

Jeg lurer på oppgave c. Hva mener de med at rekka skal konvergere mot a?

Vi ønsker å undersøke for hvilke $a\in \mathbb{R}$ det finnes $x\in \mathbb{R}$ slik at $$e^x+e^{2x}+e^{3x}+\cdots =a.$$ Vi vet at rekkens konvergensområde er gitt ved $e^x<1$. altså, $x<\ln 1=0.$ Summen av den geometriske rekken er gitt ved $$e^x+e^{2x}+\cdots =\frac{e^x}{1-e^x},$$ så vi får: $$\frac{e^x}{1-e^x}=a$$ $$e^x=a(1-e^x)$$ $$e^x(1+a)=a$$ $$e^x=\frac{a}{a+1}.$$ Vi krever at $x$ ligger i konvergensområdet, så $$e^x=\frac{a}{1+a}<1$$ $$x=\ln \left(\frac{a}{1+a}\right)<0.$$ For at logaritmen skal være definerbar trenger vi $\frac{a}{1+a}>0.$ Dermed er svaret alle $a\in \mathbb{R}$ som tilfredsstiller $0<\frac{a}{1+a}<1.$

Anta at $1+a>0$. Da får vi $0<a<a+1$, som stemmer for alle $a>-1$.
Anta så at $1+a<0$. Da får vi $0>a>a+1$, hvilket ikke stemmer for noen $a\in \mathbb{R}$.
Det er klart at $a=-1$ ikke gir noen løsning, ettersom $\frac{a}{1+a}$ da er udefinert.

Dermed er svaret $a>-1$.

[mattenøtta]

takk!