Janhaa skrev:Hva med denne, evaluer I under:
[tex]\large I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{da\,db\,dc\,dd\,de\,df}{1+abcdef}[/tex]
Velger å anta at det jeg gjør nå er feil, men gjør et tappert forsøk likevel. Går det an å bruteforce slike at du integrerer alle ledda én etter én?
For øvrig ved hjelp av polylogaritmefunksjonen
[tex]\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{dadbdcdddedf}{1+abcdef}[/tex]
Så deler du opp hele greia og bare integrerer det som [tex]\int_0^1\frac{da}{1+abcdef}=\left [\frac{\ln(1+abcdef)}{bcdef} \right ]_{a=0}^{a=1} = \frac{\ln(1+bcdef)}{bcdef}[/tex]
Og deretter [tex]\int_0^1 \frac{\ln(1+bcdef)}{bcdef}db=\frac{1}{cdef}\int_0^1\frac{\ln(1+bcdef)}{b}db=\left [-\frac{Li_2(-bcdef)}{cdef} \right ]_{b=0}^{b=1}=-\frac{Li_2(-cdef)}{cdef}[/tex]
Og deretter [tex]\int_0^1 -\frac{Li_2(cdef)}{cdef}dc=-\frac{1}{def}\int_0^1 \frac{Li_2(-cdef)}{c}dc=\left [-\frac{Li_3(-cdef)}{def} \right ]_{c=0}^{c=1}=-\frac{Li_3(-def)}{def}[/tex]
Og deretter [tex]\int_0^1 -\frac{Li_3(-def)}{def}dd=-\frac{1}{ef}\int_0^1 \frac{Li_3(-def)}{d}dd=\left [-\frac{Li_4(-def)}{ef} \right ]_{d=0}^{d=1}=-\frac{Li_4(-ef)}{ef}[/tex]
Og deretter [tex]\int_0^1 -\frac{Li_4(-ef)}{ef}de=-\frac{1}{e}\int_0^1 \frac{Li_4(-ef)}{f}de=\left [ \frac{Li_5(-ef)}{f} \right ]_{e=0}^{e=1}=-\frac{Li_5(f)}{f}[/tex]
Og da endelig [tex]\int_0^1 -\frac{Li_5(-f)}{f}df=\left [ -Li_6(-f) \right ]_{f=0}^{f=1}=-Li_6(-1)-Li_6(0)=-Li_6(-1)[/tex]
Som kan evalueres ved Bose-Einstein fordelingen gitt ved [tex]Li_s(z)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t/z-1}dt[/tex]
[tex]-Li_6(-1)=-\frac{1}{\Gamma(6)}\int_0^\infty \frac{t^{5}}{\frac{e^t}{-1}-1}dt[/tex] som jeg for all del brukte en kalkulator på og fikk [tex]\frac{31\pi^6}{30240}[/tex]