I matteboken Sinus S2 blir følgende skrevet om eulertallet:
[tex]1,1^{10}=2,59374[/tex]
[tex]1,01^{100}=2,70481[/tex]
[tex]1,001^{1000}=2,71692[/tex]
Vi skal omforme potensene ovenfor til å finne en god definisjon av e. Når vi for eksempel velger t = 0,001, blir
[tex]\frac{1}{t}=\frac{1}{0,001}=1000[/tex] (1)
Dermed blir
[tex](1+t)^\frac{1}{t}=1,001^{1000}[/tex] (2)
Når vi velger t nær null, blir altså [tex](1+t)^\frac{1}{t}[/tex] nær tallet e. Ved hjelp av grensetegnet lim kan vi skrive definisjonen slik:
[tex]e=\lim_{t\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}[/tex] (3)
Hvordan kommer de fram til overgangen mellom (1) og (2) her?
Og setter pris på en kort forklaring av (3)?
Eulertallet
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det er ingen direkte overgang mellom (1) og (2). Det som står i (1) er bare eksponenten i (2).
Grunntallet $1+t$ er slik at for $t = 0.1$, så får vi $1+t = 1+0.1 = 1.1$, og eksponenten blir $\frac1t = \frac1{0.1} = 10$, så vi får en tilnærming gitt ved $(1+t)\frac1t = 1.1^{10}$.
Det som skjer i (3) er at vi sier at vi betrakter hva som skjer når $t$ får en stadig mindre verdi ut fra $t=0.1, \quad t=0.01, \quad t=0.001, \quad t=0.0001 \ldots$.
$\lim\limits_{t\to0}$ betyr bare "la $t$ være en verdi som stadig går mot 0". I stedet for å prøve å sjekke ALLE lave $t$-verdier, sier vi bare at vi ønsker å se hva som skjer når $t$ blir så liten som vi kan få den, uten å bli nøyaktig lik 0. Det vil ikke gi mening å faktisk sette $t=0$ her, og vi bruker grenseverdier for å regne på hva som skjer når vi kommer så nærme som mulig.
Grunntallet $1+t$ er slik at for $t = 0.1$, så får vi $1+t = 1+0.1 = 1.1$, og eksponenten blir $\frac1t = \frac1{0.1} = 10$, så vi får en tilnærming gitt ved $(1+t)\frac1t = 1.1^{10}$.
Det som skjer i (3) er at vi sier at vi betrakter hva som skjer når $t$ får en stadig mindre verdi ut fra $t=0.1, \quad t=0.01, \quad t=0.001, \quad t=0.0001 \ldots$.
$\lim\limits_{t\to0}$ betyr bare "la $t$ være en verdi som stadig går mot 0". I stedet for å prøve å sjekke ALLE lave $t$-verdier, sier vi bare at vi ønsker å se hva som skjer når $t$ blir så liten som vi kan få den, uten å bli nøyaktig lik 0. Det vil ikke gi mening å faktisk sette $t=0$ her, og vi bruker grenseverdier for å regne på hva som skjer når vi kommer så nærme som mulig.
