Areal mellom sirkler

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
MatIsa
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 12:09
Sted: Trondheim

Finn arealet av det skraverte området i figuren under:
Figur.png
Figur.png (40.45 kiB) Vist 4235 ganger
Gjest

Dette er sikkert en veldig tungvint måte å gjøre det på men men

Sentrum av den lille sirkelen er $S_2 = (0.5, 0.5)$

Sirkellikningen for de to sirklene er:

$S_1 : x^2 + y^2 = 1$
$S_2 : (x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 0.5^2$

Disse skjærer hverandre i $x = y = \frac{5}{8} \pm \frac{\sqrt{7}}{8} \Rightarrow$ punktene $(0.294, 0.956)$ og $(0.956, 0.294)$

Avstanden mellom de to skjæringspunktene danner en felles korde for både den store og lille sirkelen. Arealet av sirkelsegmentet til den lille minus areal av sirkelsegmentet til den store utgjør det skraverte området.

Formelen for areal av sirkelsegment er $A = \frac{r^2}{2} (\theta - sin(\theta))$

Først må man finne sirklenes sentralvinkler. For dette kan man bruke formelen $cos (\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ eller enda enklere, Pytagoras. For Pytagoras setter man hypotenusen lik radiusen fra det ene skjæringspunktet til de to sentrene. Dermed blir halve korden lik den ene kateten og en del av radiusen, som halverer den fulle vinkelen, danner det andre katetet (Utnytter symmetri).

Korden har en lengde: $\sqrt{(0.956-0.294)^2+(0.294-0.956)^2}=0.935$ Halve korden blir $0.935/2 = 0.468$

For den lille sirkelen er dermed $sin \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = \frac{0.468}{0.5} \Rightarrow \theta_2 = 2.42$
Og for den store sirkelen er $\theta_1 = 2 sin \left(\frac{0.468}{1} \right)^{-1} = 0.97$

Dermed har vi alt som trengs for å regne ut arealet.
$A_2-A_1 = \frac{0.5^2}{2}(2.42-sin(2.42))-\left(\frac{1^2}{2}(0.97-sin(0.97)\right) = 0.147$
Det endelige arealet av det skraverte området er altså rundt 0.147.
Panne

Man kan bruke areal under parametriserte kurver!
viking
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 168
Registrert: 19/10-2012 02:54

Integralet for arealet kan skrives rett ned, så den delen er enklere, men integreringen tar litt tid.

[tex]A=2\int_{0}^{\sqrt{7/32}}\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} dx[/tex]

[tex]=\frac{1}{8}\left [ \sqrt{7}-8sin^{-1}\left \lfloor \sqrt{\frac{7}{32}} \right \rfloor +2tan^{-1}(\sqrt{7})\right ][/tex] = 0.14638
Gjest

viking skrev:Integralet for arealet kan skrives rett ned, så den delen er enklere, men integreringen tar litt tid.

[tex]A=2\int_{0}^{\sqrt{7/32}}\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} dx[/tex]

[tex]=\frac{1}{8}\left [ \sqrt{7}-8sin^{-1}\left \lfloor \sqrt{\frac{7}{32}} \right \rfloor +2tan^{-1}(\sqrt{7})\right ][/tex] = 0.14638
Hvordan kom du frem til det første leddet og integreringsgrensene? Egentlig hadde jeg satt veldig pris på om du fortalte hva du tenkte for å løse det så elegant.
Mattebruker

Alternativ ( geometrisk ) løysing :

Segment ( liten sirkel ) = tan[tex]^{-1}[/tex](rota av ( 7 ) ) * 0.5[tex]^2[/tex] - rota av ( 7 )/32 = 0.21967


Segment (stor sirkel ) = tan[tex]^{-1}[/tex](rota av ( 7 )/5 ) * 1[tex]^2[/tex] - 5 * rota av ( 7 ) /32 = 0.07329


Areal ( skravert område ) = Segment( liten sirkel ) - Segment ( stor sirkel ) = 0.21967 - 0.07329 = 0.14368
viking
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 168
Registrert: 19/10-2012 02:54

Gjest skrev:Hvordan kom du frem til det første leddet og integreringsgrensene?

Den lille sirkelen er [tex]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/tex] vekk fra senter. Flyttet den til y-aksen, og brukte symmetri til å skrive integralet [tex]2\int_{0}^{}[/tex].
Svar