Stokes

[Gjest123]

https://imgur.com/a/cTD5GbT

Hei, jeg sliter litt med å finne hva normalvektoren skal være slik at jeg kan få regnet ut oppgaven ved hjelp av Stokes. Kunne noen hjulpet meg litt her, takker for svar!

[vilma123]

g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

[Gjest123]

g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

Det du har funnet der må vell være Curl til F? Jeg trenger normalvektoren

[reneaas]

g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

Det du har funnet der må vell være Curl til F? Jeg trenger normalvektoren

For å finne normalvektoren kan du parametrisere en av flatene som har skjæringskurven som rand og ta det fundamentale vektorproduktet. Er du med på ideen?

[vilma123]

N=<0,-1,1>

[reneask]

g(x,y,z)=z-y. Ta de partielle deriverte!

Det du har funnet der må vell være Curl til F? Jeg trenger normalvektoren

For å finne normalvektoren kan du parametrisere en av flatene som har skjæringskurven som rand og ta det fundamentale vektorproduktet. Er du med på ideen?

For å utdype. Siden vi har et plan y-z = 0, kan vi parametrisere flaten ved

$$\mathit{r}(x,y)=(x,y,z)=(x,y,y)$$

Det fundamentale vektorproduktet er

$$\frac{\partial \mathit{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathit{r}}{\partial y}=(1,0,0)\times (0,1,1)=\mathit{i}\times (\mathit{j}+\mathit{k})=\mathit{i}\times \mathit{j}+\mathit{i}\times \mathit{k}=\mathit{k}-\mathit{j}=(0,-1,1)$$

Løsningen av problemet er da

$${\oint }_C\mathit{F}\cdot d\mathit{l}={\int }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathit{F})\cdot (\frac{\partial \mathit{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathit{r}}{\partial y})dxdy$$

Fordelen med å bruke det fundamentale vektorproduktet er at du aldri trenger normalisere normalvektoren du får som ofte leder til enklere integrander.

[Anonymbruker]

Er det ikke mulig å parametrisere skjæringskurven ved hjelp av cosinus og sinus?

x^2 + y^2 = 2y kan omskrives til x^2 + (y-1)^2 = 1 Da får vi r(r,theta) = rcos(theta), rsin(theta), ???.

[fish]

Er det ikke mulig å parametrisere skjæringskurven ved hjelp av cosinus og sinus?

Hvis man vil beregne linjeintegralet direkte og altså ikke bruke Stokes' teorem, kan man for eksempel parametrisere skjæringskurven ved $\overrightarrow{r}(\theta )=[\cos \theta ,1+\sin \theta ,1+\sin \theta ]$, der $\theta \in [0,2\pi ⟩$.