Integral maraton !

[Kay]

Noen som har prøvd å løse det siste integralet uten residyregning? Jeg kommer ikke så langt med det etter å ha prøvd litt div. reelle teknikker.

Kommer ikke spesielt langt heller, ikke engang ved hjelp av spesielle funksjoner, det er et mareritt uten kompleks analyse.

[Janhaa]

Noen som har prøvd å løse det siste integralet uten residyregning? Jeg kommer ikke så langt med det etter å ha prøvd litt div. reelle teknikker.

Kommer ikke spesielt langt heller, ikke engang ved hjelp av spesielle funksjoner, det er et mareritt uten kompleks analyse.

Er på bobil-ferie og i ferie -modus.
Dette er tankene:
men aldeles ikke løst d uten complex analysis.
Først kan x+2 => x slik at 3 integral poppes ut:

$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x\sin (x)}{(x+2{)}^2+1}dx=I_1+I_2+I_3$
der
$$\begin{gathered} I_1=2\sin (2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (x)}{x^2+1}dx \\ {I}_2=\cos (2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x\sin (x)}{x^2+1}dx \\ {I}_3=\sin (2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x\cos (x)}{x^2+1}dx+2\cos (2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (x)}{x^2+1}dx \end{gathered}$$

der I3 = 0, kan forstås via x => -x

I1 kan skrives:

$I_1(a)=2\sin (2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (ax)}{x^2+1}dx$

og løses ved Feynmann method mhp a.

For I2 kan vi gjøre det sammen, skrive dette som DE (diff lik.)

$I(b)=2\sin (2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (ax)e^{bx}}{x^2+1}dx$

finne I'(b) og I''(b) og bygge opp en DE. Det vi kan dra ut verdien fra ønska integral...

[Markus]

Tror nok det der skal gå frem Janhaa - smart å splitte det via $\sin (u-v)$-formelen. Får se litt mer på den når jeg kommer hjem selv fra ferie. Er nok dog ment som et integral som skal løses med residy-regning, vil jeg tro.

Inntil videre, må vi vel ha et nytt integral, som for øvrig er en del av det løsningsforslaget du foreslår Janhaa. Et av de peneste integralene etter min mening; $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (x)}{x^2+1}\text{d}x$$

[Kay]

Tror nok det der skal gå frem Janhaa - smart å splitte det via $\sin (u-v)$-formelen. Får se litt mer på den når jeg kommer hjem selv fra ferie. Er nok dog ment som et integral som skal løses med residy-regning, vil jeg tro.

Inntil videre, må vi vel ha et nytt integral, som for øvrig er en del av det løsningsforslaget du foreslår Janhaa. Et av de peneste integralene etter min mening; $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (x)}{x^2+1}\text{d}x$$

Observer at funksjonen kun har en enkel singularitet ved $x=i$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (x)}{x^2+1}dx=\mathrm{\Re }\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{ix}}{x^2+1}\right)=\mathrm{\Re }\left({\int }_{\gamma }\frac{e^{ix}}{x^2+1^2}\right)=\mathrm{\Re }\left(2\pi iRes(\frac{e^{ix}}{x^2+1},i)\right)=\mathrm{\Re }\left(2\pi i\underset{x\to i}{lim}\frac{e^{ix}}{x^2+i}\right)=\frac{\pi }{e}$


Oppfølger:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (x)\log (1+x^2)}{x(1+x^2)}dx$

(Kunne noen forresten har forklart meg hvordan jeg får dx med en sånn rett d? Når jeg bruker \textup så får jeg bare sånn rød errorskrift).

Edit: Mangla en x i oppfølgeren.

[stensrud]

Kunne noen forresten har forklart meg hvordan jeg får dx med en sånn rett d? Når jeg bruker \textup så får jeg bare sånn rød errorskrift.

Nå er jeg ingen TeX-guru, men det finnes et par måter å få det til på: \rm{d} eller \mathrm{d} funker ihvertfall. Forresten så har de fleste artiklene jeg har lest brukt $d$ og ikke $\mathrm{d}$ (Terrence Tao for eksempel, som må være et skikkelig autoritetsargument?), så det er vel ikke så nøye - jeg mistenker at det er noe fysikerne og ingeniørene bryr seg mer om. Det viktigste er nok spacingen, og her er jeg heller ingen ekspert, men \mathop{dx} (eventuelt \mathop{\rm{d}x}) skaper litt pusterom.

Du kan også trykke på knappen for å sitere andres innlegg for å se hvordan de har skrevet TeX-koden.

[Markus]

Pent Kay! Kan også løses med derivasjon under integraltegnet eller Laplace, men din metode eller Laplace er nok den mest effektive. Angående differensialnotasjon bruker jeg selv \, \text{d}x. \, skaper et lite mellomrom. Men har også sett en del bruk av \mathrm. Men, kursiv eller ikke-kursiv, ingen av alternativene er vel mer korrekt enn den andre?

[Mattebruker]

Dei fleste brukarane av dette forumet har no lagt bak seg sommarferien , og då kan det passe med litt " hjernejogg " for å

lette overgangen til kvadagen.

Dagens " tema " dreiar seg om trippelintegral ( SSS indikerer eit integral med tre variable ).


Oppgave: Berekn integralet SSS( x * y * z ) dxdydz over kroppen K = pyramide med toppunkt T(0 , 0 , 1 ) og grunnflate

{ (x , y , 0 ) : 0 <= x <= 1 og 0 <= y <= 1 }

[Nebuchadnezzar]

Er det noe jeg mangler eller er det siste integralet så enkelt som

${\displaystyle V={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}{\int }_0^{1-x-y}xyz\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{1}{6!}}$

? Mellomregningene er bare kjedelig utvidelse av polynomer... Om regningen ovenfor er riktig så slenger jeg på en litt morsom en, håper ingen har sett den før

${\displaystyle \underset{\theta \to \pi /2}{lim}{\int }_{-\theta }^{\theta }\lfloor \tan x\rfloor \mathrm{d}x}$

[Mattebruker]

$\int \int \int$( x y z ) dxdydz over K = $\frac{1}{120}$

[Mattebruker]

$\int \int \int$( x y z ) dxdydz over K = $\frac{1}{120}$

[MatIsa]

Er det noe jeg mangler eller er det siste integralet så enkelt som

${\displaystyle V={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}{\int }_0^{1-x-y}xyz\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{1}{6!}}$

Løste den på samme måte selv, men tror det blir feil. Her er vel integrasjonsområdet en pyramide med en trekantet grunnflate ($\{(x,y,0):0\le x\le 1\text{ og }0\le y\le 1-x\}$) istedenfor en kvadratisk grunnflate?

Oppfølger:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (x)\log (1+x^2)}{x(1+x^2)}dx$

Tar gjerne et hint på denne, har prøvd mer eller mindre alt

[Kay]

Oppfølger:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (x)\log (1+x^2)}{x(1+x^2)}dx$

Tar gjerne et hint på denne, har prøvd mer eller mindre alt

Hint:

[+] Skjult tekst

derivasjon under integraltegnet

[Markus]

Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1}\text{d}x$

[Aleks855]

Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1}\text{d}x$

Kun elementære løsninger for min del. I tillegg fint med litt oppfrisking.

Lar vi $u=e^x$ og medfølgende $\mathrm{d}x=\frac{1}{u}\mathrm{d}u$ får vi $$\int \frac{1}{u(u+1)}\mathrm{d}u\stackrel{\text{delbrøkoppspalting}}{\overbrace{=}}\int \frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u-\int \frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\log (u)-\log (u+1)+C=\log \left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)+C$$

Oppfølger: $\int \sec x\mathrm{d}x$ hvis den ikke allerede har blitt løst. Er litt fan av den siden den også kan løses med grunnleggende integrasjon og litt kreativitet.

[Kay]

Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1}\text{d}x$

Kun elementære løsninger for min del. I tillegg fint med litt oppfrisking.

Lar vi $u=e^x$ og medfølgende $\mathrm{d}x=\frac{1}{u}\mathrm{d}u$ får vi $$\int \frac{1}{u(u+1)}\mathrm{d}u\stackrel{\text{delbrøkoppspalting}}{\overbrace{=}}\int \frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u-\int \frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\log (u)-\log (u+1)+C=\log \left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)+C$$

Oppfølger: $\int \sec x\mathrm{d}x$ hvis den ikke allerede har blitt løst. Er litt fan av den siden den også kan løses med grunnleggende integrasjon og litt kreativitet.

I og med at du ønsker løsning vha. grunnleggende integrasjon (regner alt innen R2 pensum som grunnleggende):

$\int \sec (x)dx=\int \frac{1}{\cos (x)}dx=\int \frac{\cos (x)}{{\cos }^2(x)}dx=\int \frac{\cos (x)}{1-{\sin }^2(x)}dx=\int \frac{\cos (x)}{(1+\sin (x))(1-\sin (x))}dx$

La $u=\sin (x)\Rightarrow \frac{du}{dx}=\cos (x)\Rightarrow du=\cos (x)dx$

$\int sec(x)dx={\int }_{sub}\frac{du}{(1+u)(1-u)}=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u})du=\frac{1}{2}(\ln |1+u|-\ln |1+u|)=\frac{1}{2}\ln \frac{|1+u|}{|1-u|}=\frac{1}{2}\ln \frac{|1+\sin (x)|}{|1-\sin (x)|}+C$

Oppfølger: $\int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}}dx$