Integral maraton !

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Re: Integral maraton !

Innlegg Aleks855 » 17/09-2018 00:34

Kay skrev:I og med at du ønsker løsning vha. grunnleggende integrasjon (regner alt innen R2 pensum som grunnleggende


Det var ikke et krav, naturligvis. Har du alternative metoder?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5894
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Integral maraton !

Innlegg Kay » 17/09-2018 01:28

Sånn umiddelbart er det vel mulig å gange og dele med [tex](\sec(x)+tan(x))[/tex], altså [tex]1[/tex] og bruke substitusjonen [tex]u=(\sec(x)+\tan(x))[/tex] som gir [tex]\int \frac{du}{u}[/tex] osv.
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral maraton !

Innlegg mattegjest » 17/09-2018 10:58

Alternativ løysing: [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{cos(x)}[/tex]dx
mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg mattegjest » 17/09-2018 10:58

Alternativ løysing: [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{cos(x)}[/tex]dx
mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg Mattegjest » 17/09-2018 11:11

Alternativ løysing:

[tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{cos(x)}[/tex]= [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{sin(\frac{\pi }{2}-x)}[/tex]dx (u = [tex]\frac{\pi }{2}[/tex]- x [tex]\rightarrow[/tex]dx = -du ) = -1[tex]\cdot[/tex][tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{sin(u)}[/tex]du =


-1 [tex]\int[/tex][tex]\frac{tan(\frac{u}{2})'}{tan(\frac{u}{2})}[/tex]du = -1 ln(abs(tan([tex]\frac{u}{2}[/tex])) + C


= -1ln[tex]\left | tan(\frac{\pi }{4})- \frac{x}{2} \right |[/tex] + C
Mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg Janhaa » 17/09-2018 14:21

Oppfølger: [tex]\int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}}dx[/tex]

Slenger inn et bilde, tar så lang tid å skrive alt.
Tror imidlertid en trigonometrisk substitusjon funker.
integral.JPG
integral.JPG (559.76 KiB) Vist 4014 ganger
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7800
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Integral maraton !

Innlegg Janhaa » 17/09-2018 14:49

Oppfølger:

[tex]\large I=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\sin(\theta)}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7800
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Integral maraton !

Innlegg Nebuchadnezzar » 17/09-2018 16:17

Bilde

Oppfølger

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\int \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1\,}\,} }{ \sqrt{x^2 + 1} } \,\mathrm{d}x
$
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5534
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: Integral maraton !

Innlegg Mattegjest » 17/09-2018 16:58

Gitt [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{2 + sin\theta }[/tex]d[tex]\theta[/tex]

Innfører den velkjende substitusjonen t = tan([tex]\frac{\theta }{2}[/tex] ) , og endar opp med


[tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{2 + sin\theta }[/tex]d[tex]\theta[/tex]= [tex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex][tex]\cdot[/tex]tan[tex]^{-1}[/tex]([tex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex][tex]\cdot[/tex]tan([tex]\frac{\theta }{2}[/tex]) + [tex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]) + C, cos([tex]\frac{\theta }{2}[/tex]) [tex]\neq[/tex]0[tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\theta[/tex][tex]\neq[/tex][tex]\pi[/tex]


Integrasjonen frå 0 til 2[tex]\pi[/tex] går da i to steg: Først frå 0 til [tex]\pi[/tex][tex]^{-}[/tex]
og deretter frå [tex]\pi[/tex][tex]^{+}[/tex] til 2[tex]\pi[/tex].
Da får vi I = [tex]\frac{2\pi }{\sqrt{3}}[/tex] ( stemmer med Nebukadnezar si løysing).
Mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg MatIsa » 17/09-2018 17:59

Nebuchadnezzar skrev:Oppfølger

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\int \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1\,}\,} }{ \sqrt{x^2 + 1} } \,\mathrm{d}x
$
La $u = \sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}$. Da er $${\rm d}u = \dfrac{1+x/2\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{\rm d}x = \dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}{\rm d}x = \dfrac12\dfrac{u}{\sqrt{x^2+1}}{\rm d}x$$ og $$I = \int\dfrac{u}{\sqrt{x^2+1}}\dfrac{2\sqrt{x^2+1}}{u}{\rm d}u = 2\int{\rm d}u = 2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}+C$$

Oppfølger: $\int_{-\pi}^\pi \dfrac{{\rm d}\theta}{1+\sin^2\theta}$
MatIsa offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 11:09
Bosted: Trondheim

Re: Integral maraton !

Innlegg Kay » 17/09-2018 19:10

MatIsa skrev:
Nebuchadnezzar skrev:Oppfølger

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\int \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1\,}\,} }{ \sqrt{x^2 + 1} } \,\mathrm{d}x
$
La $u = \sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}$. Da er $${\rm d}u = \dfrac{1+x/2\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{\rm d}x = \dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}{\rm d}x = \dfrac12\dfrac{u}{\sqrt{x^2+1}}{\rm d}x$$ og $$I = \int\dfrac{u}{\sqrt{x^2+1}}\dfrac{2\sqrt{x^2+1}}{u}{\rm d}u = 2\int{\rm d}u = 2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}+C$$

Oppfølger: $\int_{-\pi}^\pi \dfrac{{\rm d}\theta}{1+\sin^2\theta}$


[tex]\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin^2\theta}d\theta=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta+\tan^2\theta}[/tex]

Så lar vi [tex]w=\tan(\theta)\Rightarrow d\theta=\frac{1}{\sec^2(\theta)}dw[/tex], samtidig innfører vi identiteten [tex]\sec^2(x)=\tan^2(x)+1[/tex]

Da får vi [tex]I=\int_{sub}\frac{1}{(w^2+1)+w^2}=\int_{sub}\frac{1}{2w^2+1}[/tex] som fra [tex]\int \frac{1}{bx^2+a^2}=\frac{1}{a \sqrt{b}}\tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} x}{a} \right )[/tex] blir [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{\sqrt{2}w}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}(\sqrt2 w)=\frac{\tan^{-1}(\sqrt{2}\tan\theta)}{\sqrt{2}}[/tex]

Altså [tex]\int_{-\pi}^\pi \frac{d\theta}{1+\sin^2\theta}=[\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}(\sqrt{2}\tan\theta)]_{-\pi}^{\pi}=\pi\sqrt{2}[/tex]

Oppfølger: [tex]\int \frac{\sec^2(kx)tan^2(kx)}{\cos(kx)}dx[/tex] hvor [tex]k[/tex] er en eller annen konstant slik at [tex]k \in \mathbb{R}[/tex]

Vet ikke om det er noen elegant løsning på denne, så det er mer et "hold tunga rett i kjeften" integral.
Sist endret av Kay den 18/09-2018 21:42, endret 2 ganger.
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral maraton !

Innlegg Mattegjest » 17/09-2018 19:19

Gitt [tex]\frac{1}{1+sin^{2}(\theta )}[/tex] d[tex]\theta[/tex]


Innfører den doble vinkelen (2[tex]\theta[/tex] ) og får

[tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{1 + sin^{2}(\theta )}[/tex] = [tex]\int[/tex][tex]\frac{2}{3 -cos(2\theta )}[/tex]d[tex]\theta[/tex]


Innfører substitusjonen t = tan( x ) , og endar opp med


Ubestemt integral = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex][tex]\cdot[/tex]tan[tex]^{-1}[/tex]([tex]\sqrt{2\cdot }[/tex]tan(x)) + C , x [tex]\neq[/tex][tex]\frac{\pi }{2}[/tex].


Sidan integranden er summ. om y-aksen( jamn funksjon) , får vi

I = 2 * (integralet frå 0 til [tex]\frac{\pi }{2}^{-}[/tex]+ integralet frå [tex]\frac{\pi }{2}^{+}[/tex] til [tex]\pi[/tex]) =2 [tex]\sqrt{2}\pi[/tex]
Mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg Janhaa » 21/09-2018 15:10

fortsetter her da:

[tex]I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(x)}{x-1}\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7800
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Integral maraton !

Innlegg Kay » 21/09-2018 17:35

Janhaa skrev:fortsetter her da:

[tex]I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(x)}{x-1}\,dx[/tex]


Tidligere i tråden har vi brukt polylogaritme-funksjonen (har selv brukt den for øvrig)

[tex]\int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x-1}=[-Li_2(x-1)]_{0}^{1}=-Li_2(0)+Li_2(1)=\zeta(1)=\frac{\pi ^2}{6}[/tex]



Ikke en spesielt kreativ, men likevel oppfølger [tex]I=\oint_C dz \frac{1-\cos^2(z)}{z^2(4z-\pi)}[/tex] Hvor C er enhetssirkelen med sentrum i origo , gjennomløpt én gang mot urviseren.
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral maraton !

Innlegg Markus » 21/09-2018 20:15

Janhaa skrev:fortsetter her da:

[tex]I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(x)}{x-1}\,dx[/tex]

Denne kan også gjøres med Maclaurin-rekker: $$\begin{alignat*}{2} \int_0^1 \frac{\ln(x)}{x-1} \, \text{d}x &= \int_0^1 \frac{\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}(x-1)^k}{k}}{x-1} \, \text{d}x \\ &= \sum_{k=1}^\infty \int_0^1 \frac{(-1)^{k+1}(x-1)^{k-1}}{k} \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} \left[\frac{(x-1)^k}{k} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{2k+2}}{k^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{alignat*}$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

ForrigeNeste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 10 gjester