Jeg så en oppgave her igår.
Man hadde funksjonen til en linje, og skulle finne funksjonen til en ny linje, som sto vinkelrett på den første.
Svaret ble at man skulle ta -1/a der a er stigningstallet for den første linja (altså den vi hadde funksjonen på med det første).
Spørsmålet mitt er HVORFOR?
OG
Hva hvis man har funksjonen til en linje, y=2x+3, og skal finne funksjonen til en linje som står 60 grader på denne?
Fint hvis noen prøver seg
Stigningstall
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
hei, jeg kan prøve å forklare etter beste evne. Hadde vært litt enklere med et koordinatsystem, men vi får klare oss uten.
For det forste så er a stigningstallet til funksjonen og -1/a stigningstallet til normalen til denne (altså linja som står vinkelrett på den andre)
Først kaller jeg skjæringspunktet mellom de to linjene A. Hvis jeg da går bortover x-aksen fra A med en enhet kommer vi til et punkt B, vi må da "a" enheter opp for å komme til punktet C på linja med stigningstallet a. Vi må da gå 1/a enheter nedover fra B for å komme til punktet D på linja med stigningstallet -/a (altså normalen)
Vi har nå en trekant ABC som er rettvinklet, pytagoras gir:
AC²=AB²+BC² =1²+a²=a²+1
Trekant ABD er også rettvinklet, pyagoras gir:
AD²=AB²+BD²=1²+(1/a)²=1+1/a²
Vi kan nå se om disse linjene står vinkelrett på hverandre, det kan vi gjøre ved å se om vinkel CAD er 90°. Dette sjekker vi med pytagoras:
Her må da DC være hypotenus for trekant ADC:
AC²+AD²=(a²+1)+(1+1/a²)=a²+2+1/a²
CD²=(a+1/a)²=a²+2*a*(1/a)+(1/a)²=a²+2+1/a²
Vi kan se at CD²=AC²+AD². Trekanten er da rettvinklet og linja med stigningstallet -1/a står normalt på linja med stigningstallet a.
Dette forutsetter at a [symbol:ikke_lik] 0
Håper du skjønte noe av dette:) Du kan jo prøve å tegne dette inn i et koordinatsystem så kanskje det blir lettere å forstå.
For det forste så er a stigningstallet til funksjonen og -1/a stigningstallet til normalen til denne (altså linja som står vinkelrett på den andre)
Først kaller jeg skjæringspunktet mellom de to linjene A. Hvis jeg da går bortover x-aksen fra A med en enhet kommer vi til et punkt B, vi må da "a" enheter opp for å komme til punktet C på linja med stigningstallet a. Vi må da gå 1/a enheter nedover fra B for å komme til punktet D på linja med stigningstallet -/a (altså normalen)
Vi har nå en trekant ABC som er rettvinklet, pytagoras gir:
AC²=AB²+BC² =1²+a²=a²+1
Trekant ABD er også rettvinklet, pyagoras gir:
AD²=AB²+BD²=1²+(1/a)²=1+1/a²
Vi kan nå se om disse linjene står vinkelrett på hverandre, det kan vi gjøre ved å se om vinkel CAD er 90°. Dette sjekker vi med pytagoras:
Her må da DC være hypotenus for trekant ADC:
AC²+AD²=(a²+1)+(1+1/a²)=a²+2+1/a²
CD²=(a+1/a)²=a²+2*a*(1/a)+(1/a)²=a²+2+1/a²
Vi kan se at CD²=AC²+AD². Trekanten er da rettvinklet og linja med stigningstallet -1/a står normalt på linja med stigningstallet a.
Dette forutsetter at a [symbol:ikke_lik] 0
Håper du skjønte noe av dette:) Du kan jo prøve å tegne dette inn i et koordinatsystem så kanskje det blir lettere å forstå.
-
Pr0xziz
Takk for svar! Men det jeg lurer på er; Hvilke funksjoner har du brukt i eksempelet? (driver og tegner inn i koordinatsystem skjønner du;))
Beviset er generellt og gjelder for alle funksjoner der a [symbol:ikke_lik] 0
Hvis du skal tegne inn i et system så tegn opp en vilkårlig linje som stiger mot høyre, deretter tegner du ei linje som står vinkelrett på denne ( denne vil jo da synke mot høyre). Det har ingen betydning hvordan de ser ut eller stiger, det eneste er at de må stå vinkelrett på hverandre. Du bruker ingen koordinater, bare setter opp punkter som forklart ovenfor.
Hvis du fortsatt ikke skjønner hva jeg mener så si ifra så skal jeg prøve en gang til:) (har ingen lærerutdannelse..)
Hvis du skal tegne inn i et system så tegn opp en vilkårlig linje som stiger mot høyre, deretter tegner du ei linje som står vinkelrett på denne ( denne vil jo da synke mot høyre). Det har ingen betydning hvordan de ser ut eller stiger, det eneste er at de må stå vinkelrett på hverandre. Du bruker ingen koordinater, bare setter opp punkter som forklart ovenfor.
Hvis du fortsatt ikke skjønner hva jeg mener så si ifra så skal jeg prøve en gang til:) (har ingen lærerutdannelse..)
-
Guest
Takk takk! =) Jeg skjønte det meste, det jeg 'stussa' litt på var det med pytagoras (jeg kan regelen altså, men hvilke tall har du brukt her?):
Vi har nå en trekant ABC som er rettvinklet, pytagoras gir:
AC²=AB²+BC² =1²+a²=a²+1
Trekant ABD er også rettvinklet, pyagoras gir:
AD²=AB²+BD²=1²+(1/a)²=1+1/a²
Vi har nå en trekant ABC som er rettvinklet, pytagoras gir:
AC²=AB²+BC² =1²+a²=a²+1
Trekant ABD er også rettvinklet, pyagoras gir:
AD²=AB²+BD²=1²+(1/a)²=1+1/a²
ett tallet kommer av at jeg beveger meg "en enhet" bortover på x-aksen, dvs at lengen for AB=1
eks:
hvis linjene krysser i origo (0,0) ligger da punkt A der og punkt B vil da ligge i (1,0) dvs x=1, da har jeg forflyttet meg en enhet bortover.
eks:
hvis linjene krysser i origo (0,0) ligger da punkt A der og punkt B vil da ligge i (1,0) dvs x=1, da har jeg forflyttet meg en enhet bortover.