Oppgaven er vist i bildet.
Har lagt inn ett bilde av hva jeg har gjort, men ble forvirret når jeg fikk at tanx=3, og så lurte jeg på når (e^x)*(sin^2x) har nullpunkt.
Hjelp?
R2-Kombinasjonsfunksjon (sinus og e^x)
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i annen kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.
Hvordan kan jeg finne ut hva tan^-(-3) er uten hjelpemidler?DennisChristensen skrev:Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.
Du sier at tanx=-3 har løsning/linja y=-3x ligger i tredje kvadrant, men er ikke tangens positiv i tredje kvadrant?DennisChristensen skrev:Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Beklager forvirringen! Jeg mente selvsagt annen kvadrant.anjafur skrev:Du sier at tanx=-3 har løsning/linja y=-3x ligger i tredje kvadrant, men er ikke tangens positiv i tredje kvadrant?DennisChristensen skrev:Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.
Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?DennisChristensen skrev:Beklager forvirringen! Jeg mente selvsagt annen kvadrant.anjafur skrev:Du sier at tanx=-3 har løsning/linja y=-3x ligger i tredje kvadrant, men er ikke tangens positiv i tredje kvadrant?DennisChristensen skrev:Du har derivert riktig. Vi ønsker å undersøke løsningene til likningen $f'(x) = 0$, altså $e^x\sin^2x(\sin x + 3\cos x) = 0$. La $x_0$ være løsningen på likningen $\sin x + 3\cos x = 0$. Ettersom $x_0\in[0,\pi]$, vet vi at $x_0$ er vinkelen til skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og linja $y=-3x$ som ligger i tredje kvadrant. Altså vet vi at $\sin x_0 > 0$. De andre løsningene til $f'(x) = 0$ er $x_1=0$ og $x_2=\pi$, og vi ser dermed at $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Derimot vet vi at $f(x_0) = e^{x_0}\sin^3 x_0 > 0$, så $(x_0, f(x_0))$ må være $f$ sitt eneste toppunkt. Som du regnet ut får vi helt presist at $x_0 = \tan^{-1}(-3)$.
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Bare skriv på eksakt form, $\tan^{-1}(-3)$.anjafur skrev:
Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?
I følge fasiten skal x-verdien bli 3pi/4. Betyr det at y=-3x skjærer enhetsirkelen i -1 som gir eksakt løsning 3pi/4?DennisChristensen skrev:Bare skriv på eksakt form, $\tan^{-1}(-3)$.anjafur skrev:
Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?
(Forresten er sin^2x=0 når x=pi? Forsto ikke helt den biten, men glemte å spørre)
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Fasiten er feil. Egentlig har $\tan^{-1}$-funksjonen $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ som sin fundamentale verdimengde, så svaret bør strengt tatt skrives som $\tan^{-1}(-3) + \pi$, men på videregående tar man gjerne ikke hensyn til slike detaljer.anjafur skrev:I følge fasiten skal x-verdien bli 3pi/4. Betyr det at y=-3x skjærer enhetsirkelen i -1 som gir eksakt løsning 3pi/4?DennisChristensen skrev:Bare skriv på eksakt form, $\tan^{-1}(-3)$.anjafur skrev:
Okay, takk. Men vet du hvordan jeg kan finne ut av hva tanx=-3 blir uten hjelpemidler?
(Forresten er sin^2x=0 når x=pi? Forsto ikke helt den biten, men glemte å spørre)
Nullpunktene til sinusfunksjonen finner du enkelt om du undersøker enhetssirkelen. Når er $y$-koordinaten til et punkt på sirkelen lik $0$? Svaret er når punktet har et vinkelutslag på $\pi n$, der $n$ er et heltall. Det følger at $\sin \pi = 0$.
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Du kan jo selv tegne grafen med digitalt verktøy. Undersøk hvilke linjer som definerer toppunktet: $x = \frac{3\pi}{4}$ eller $x=\tan^{-1}(-3) + \pi$.anjafur skrev:Tusen takk for all hjelpen! Skal ta opp at fasiten er feil med læreren, ettersom dette er en oppgave fra en hjemmeregning.