Oppvarming til Abelkonkurransen

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Oppvarming til Abelkonkurransen

Innlegg Markus » 27/10-2018 15:13

Gustav gjorde en super jobb i fjor, og la ut mange gode oppvarmingsoppgaver til Abelkonkurransen. Det virket som at forumet likte de, så jeg gjør et forsøk på å legge ut noen liknende i år. Oppgavene er ikke nødvendigvis i stigende rekkefølge når det kommer til vanskelighetsgrad.

$\textbf{(1)}$ I anledning en folketelling blir en mor spurt om hvor mange døtre hun har og hvor gamle de er. Moren svarer at hun har tre døtre, deres alder er hele tall, og at produktet av disse er 36. Hun får som svar at dette ikke er nok informasjon. Da sier hun at hvis hun hadde sagt summen av aldrene ville folketellingskontoret ikke forstått noe. Hun får som svar at det fortsatt ikke er nok informasjon. Da svarer hun at hennes eldste datter liker hunder. Nå vet folketellingskontoret akkurat hvor gamle barna er. Hvor gamle er de?

$\textbf{(2)}$ For hvor mange heltall positive heltall $n$ er brøken $\frac{16n+3}{3n+2}$ et heltall?

$\textbf{(3)}$ La $a_1,a_2,\dots,a_n$ være en vilkårlig permutasjon av tallene $1,2,\dots,n$. Vil da produktet $(a_1-1)(a_2-1)\cdots(a_n-1)$ være et oddetall eller partall?

$\textbf{(4)}$ La $n$ være det minste positive heltallet som gjør at $\sqrt{184n}$ er et helt tall. Hva er det siste sifferet i $n$?

$\textbf{(5)}$ På hvor mange måter kan vi ordne bokstavene A,B,E,L slik at annenhver bokstav er en konsonant, og annenhver bokstav er vokal?

$\textbf{(6)}$ La $n$ være et heltall med et partall antall siffer. La tallet $m$ være tallet slik at dets siffer først er $n$ sine, deretter $n$ sine baklengs. For eksempel hvis $n=123$ er $m=123321$, eller hvis $n=19$, så er $m=1991$. Vis at $m$ aldri kan være et primtall.

$\textbf{(7)}$ A,B,C og D skal dele $14$ biter godteri. På hvor mange måter kan de dele godteribitene i mellom seg?

$\textbf{(8)}$ I en likesidet trekant med sidelengder lik $1$ plasseres fem punkter. Vis at minst en av punktene må ha en maksimal distanse på $0.5$ mellom seg.

$\textbf{(9)}$ La $a_1,a_2,\dots,a_n$ være en vilkårlig følge av positive heltall, og $b_1,b_2,\dots,b_n$ en permutasjon av $a_1,a_2,\dots,a_n$. Vis at $\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \dots + \frac{a_n}{b_n} \geq n$

$\textbf{(10)}$ Gitt at $xy=8$ og $x-y=2$, finn verdien av $\frac{x^3+y^3}{x^2-y^2} - \frac{x^2+y^2}{x-y}$

$\textbf{(11)}$ Vis at en av tallene i følgen $10,110,1110,11110,\dots$ er delelig på $67$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Oppvarming til Abelkonkurransen

Innlegg Aleks855 » 27/10-2018 17:57

Markus skrev:$\textbf{(1)}$ I anledning en folketelling blir en mor spurt om hvor mange døtre hun har og hvor gamle de er. Moren svarer at hun har tre døtre, deres alder er hele tall, og at produktet av disse er 36. Hun får som svar at dette ikke er nok informasjon. Da sier hun at hvis hun hadde sagt summen av aldrene ville folketellingskontoret ikke forstått noe. Hun får som svar at det fortsatt ikke er nok informasjon. Da svarer hun at hennes eldste datter liker hunder. Nå vet folketellingskontoret akkurat hvor gamle barna er. Hvor gamle er de?


La $a \leq b \leq c$. $abc = 36$ har løsningene $(a, b, c) \in \{ (1, 1, 36), (1, 2, 18), (1, 3, 12), (1, 4, 9), (1, 6, 6), (2, 2, 9), (2, 3, 6), (3, 3, 4)\}$.

hvis hun hadde sagt summen av aldrene ville folketellingskontoret ikke forstått noe


Det vil si at svaret er en av de som deler sum med minst en av de andre. Her er det kun triplene $(1, 6, 6), (2, 2, 9)$ som deler sum, og av disse to er det kun en av dem som har en eldste datter. Døtrene må altså være 2, 2, og 9 år gamle.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5872
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Oppvarming til Abelkonkurransen

Innlegg Gustav » 28/10-2018 13:41

Markus skrev:
$\textbf{(9)}$ La $a_1,a_2,\dots,a_n$ være en vilkårlig følge av positive heltall, og $b_1,b_2,\dots,b_n$ en permutasjon av $a_1,a_2,\dots,a_n$. Vis at $\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \dots + \frac{a_n}{b_n} \geq n$



Bra initiativ!

Ulikheten følger direkte fra rearrangementulikheten: $\sum_i \frac{a_i}{b_i}\ge \sum_i \frac{a_i}{a_i}=n$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Oppvarming til Abelkonkurransen

Innlegg Markus » 28/10-2018 18:00

Selvfølgelig helt korrekt begge to! Jeg løste ulikheten med AM-GM da vi har at $\frac{a_1a_2\cdots a_n}{b_1b_2\cdots b_n} = 1$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Oppvarming til Abelkonkurransen

Innlegg Markus » 16/11-2018 19:02

Var visst ikke like mye interesse her i år som i fjor, si. Hva synes dere om årets Abelkonkurranse? Jobbet gjennom oppgavene en gang i forrige uke. Synes det var greit vanskelighetsgradnivå i år.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 19 gjester