Skal vurdere om rekkene konvergerer eller divergerer, gjene ved sammenlikning med en geometrisk rekke eller p-rekke.
1)[tex]\sum_{n=1}^{\infty}|sinus \frac {1}{n^2}| [/tex]
2)[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {n^2}{1+n\sqrt n}[/tex]
Konvergens eller divergens?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
1) I.o.m. at 0 < sinx < x når x€(0,1], vil
[tex]0 \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \: sin(1/n^2) \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \: 1/n^2 \;=\; \pi^2/6.[/tex]
M.a.o. er rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] sin(1/n[sup]2[/sup]) konvergent.
2) Nå er 3n[symbol:rot]n > n[symbol:rot]n + 1 for alle naturlige tall n, så
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{n^2}{n\sqrt{n} \:+\: 1} \:\;>\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3n\sqrt{n}} \;=\; \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} \;=\; \infty.[/tex]
Altså divergerer rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n[sup]2[/sup] / (n[symbol:rot]n + 1).
[tex]0 \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \: sin(1/n^2) \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \: 1/n^2 \;=\; \pi^2/6.[/tex]
M.a.o. er rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] sin(1/n[sup]2[/sup]) konvergent.
2) Nå er 3n[symbol:rot]n > n[symbol:rot]n + 1 for alle naturlige tall n, så
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{n^2}{n\sqrt{n} \:+\: 1} \:\;>\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3n\sqrt{n}} \;=\; \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} \;=\; \infty.[/tex]
Altså divergerer rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n[sup]2[/sup] / (n[symbol:rot]n + 1).
-
Guest
Takker, oppgaven går ikke ut på det, men hvordan fant du ut at 1) konvergerer mot [symbol:pi][sup]2[/sup]/6?
Har noen flere, samme kriterier gjelder.
3) [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {1-(-n)^n}{n^4}[/tex]
Jeg fatter ikke at den konvergerer.
4)[tex]\sum_{n=2}^{\infty} \ \frac {\sqrt n}{3^n * lnn}[/tex]
5)[tex]\sum_{n=4}^{\infty} \ \frac {2^n}{3^n - n^3}[/tex]
Har noen flere, samme kriterier gjelder.
3) [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {1-(-n)^n}{n^4}[/tex]
Jeg fatter ikke at den konvergerer.
4)[tex]\sum_{n=2}^{\infty} \ \frac {\sqrt n}{3^n * lnn}[/tex]
5)[tex]\sum_{n=4}^{\infty} \ \frac {2^n}{3^n - n^3}[/tex]
-
Guest
At [tex]\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \pi^2/6[/tex] er ikke så lett uten litt mer matematikk. Den rekken fremkommer bl.a. i Riemanns zeta-funksjon (se f.eks. http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function).
Jeg kan heller ikke se at (3) konvergerer, leddene blir jo
[tex]\frac{1}{n^4} - (-1)^n n^{n-4}[/tex]
første del går mot null, den andre delen vokser mot uendelig, med alternerende fortegn, så det ser divergent ut for meg.
I rekke (4) derimot kan vi skrive leddene som
[tex]\frac{\sqrt{n}}{1.5^n 2^n \log n}[/tex]
Så kan vi se nærmere på [tex]\frac{\sqrt{n}}{(1.5)^n}.[/tex]
Ser vi på funksjonen [tex]\sqrt{n}-(1.5)^n[/tex] ser vi at den deriverte bare blir mer og mer negativ, så funksjonen selv blir negativ etter hvert.
Dvs. at [tex]\sqrt{n} < (1.5)^n[/tex] for store [tex]n[/tex].
Altså er [tex]\frac{\sqrt{n}}{(1.5)^n}[/tex] mindre enn 1 for store [tex]n[/tex]. Da får vi at [tex]\frac{\sqrt{n}}{1.5^n 2^n \log n} < \frac{1}{2^n \log n} < \frac{1}{2^n}[/tex] for store [tex]n[/tex], og rekken
[tex]\sum_1^\infty \frac{1}{2^n}[/tex] vet vi konvergerer.
Jeg kan heller ikke se at (3) konvergerer, leddene blir jo
[tex]\frac{1}{n^4} - (-1)^n n^{n-4}[/tex]
første del går mot null, den andre delen vokser mot uendelig, med alternerende fortegn, så det ser divergent ut for meg.
I rekke (4) derimot kan vi skrive leddene som
[tex]\frac{\sqrt{n}}{1.5^n 2^n \log n}[/tex]
Så kan vi se nærmere på [tex]\frac{\sqrt{n}}{(1.5)^n}.[/tex]
Ser vi på funksjonen [tex]\sqrt{n}-(1.5)^n[/tex] ser vi at den deriverte bare blir mer og mer negativ, så funksjonen selv blir negativ etter hvert.
Dvs. at [tex]\sqrt{n} < (1.5)^n[/tex] for store [tex]n[/tex].
Altså er [tex]\frac{\sqrt{n}}{(1.5)^n}[/tex] mindre enn 1 for store [tex]n[/tex]. Da får vi at [tex]\frac{\sqrt{n}}{1.5^n 2^n \log n} < \frac{1}{2^n \log n} < \frac{1}{2^n}[/tex] for store [tex]n[/tex], og rekken
[tex]\sum_1^\infty \frac{1}{2^n}[/tex] vet vi konvergerer.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
3) Nå er
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - (-n)^n}{n^4} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \;-\; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \, n^{n-4} [/tex].
Den første rekken er konvergent mens den andre er divergent ettersom lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub](-1)[sup]n[/sup] n[sup]n-4[/sup] [symbol:ikke_lik] 0. Altså er rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1 - (-n)[sup]n[/sup])/n[sup]4[/sup] divergent.
Slik jeg forstår det, sier fasitsvaret at denne rekken konvergerer. Hvis det er tilfelle, må enten fasiten være feil eller så har du skrevet rekken feil. Kan det være at rekken er [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1 - (-1)[sup]n[/sup])/n[sup]4[/sup]?
4) For alle naturlige tall n er 2*ln n > 1 og n < 4[sup]n[/sup], dvs. at 1/lnn < 2 og [symbol:rot]n < 2[sup]n[/sup]. Ved å multiplisere disse to ulikhetene blir resultatet ulikheten [symbol:rot]n / lnn < 2[sup]n+1[/sup]. Herav følger at
[tex]0 \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3^n \cdot lnn} \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n} \;=\; 2\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^n[/tex]
som er en konvergent rekke. Ergo er rekken [symbol:sum][sub]n>1[/sub] [symbol:rot]n / (3[sup]n[/sup]*lnn) konvergent.
5) Nå er 3[sup]n[/sup] - n[sup]3[/sup] > (5/2)[sup]n-2[/sup] for n≥4, en ulikhet som gir
[tex]0 \;<\; \sum_{n=4}^{\infty} \: \frac{2^n}{3^n - n^3} \;<\; \sum_{n=4}^{\infty}\: \frac{2^n}{(5/2)^{n-2}} \;=\; (\frac{5}{2})^2 \: \sum_{n=4}^{\infty} (\frac{4}{5})^n[/tex]
som jo er en konvergent rekke. Følgelig konvergerer også rekken [symbol:sum][sub]n≥4[/sub] 2[sup]n[/sup] / (3[sup]n[/sup] - n[sup]3[/sup]).
PS. Når det gjelder rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/n[sup]2[/sup] i oppgave 1), holder det å skrive at denne rekken er konvergent fordi alle rekker av formen [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/n[sup]k[/sup] der k er en konstant > 1, konvergerer. Det faktum at summen av rekken er [symbol:pi][sup]2[/sup]/6 er ikke nødvendig ta med. Jeg skrev det uten videre fordi denne summen gjerne er en ting som en husker når en har jobbet en del med rekker. Likeså at summen av rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/n[sup]4[/sup] som dukker opp i oppgave 3), er [symbol:pi][sup]4[/sup]/90.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - (-n)^n}{n^4} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \;-\; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \, n^{n-4} [/tex].
Den første rekken er konvergent mens den andre er divergent ettersom lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub](-1)[sup]n[/sup] n[sup]n-4[/sup] [symbol:ikke_lik] 0. Altså er rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1 - (-n)[sup]n[/sup])/n[sup]4[/sup] divergent.
Slik jeg forstår det, sier fasitsvaret at denne rekken konvergerer. Hvis det er tilfelle, må enten fasiten være feil eller så har du skrevet rekken feil. Kan det være at rekken er [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1 - (-1)[sup]n[/sup])/n[sup]4[/sup]?
4) For alle naturlige tall n er 2*ln n > 1 og n < 4[sup]n[/sup], dvs. at 1/lnn < 2 og [symbol:rot]n < 2[sup]n[/sup]. Ved å multiplisere disse to ulikhetene blir resultatet ulikheten [symbol:rot]n / lnn < 2[sup]n+1[/sup]. Herav følger at
[tex]0 \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3^n \cdot lnn} \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n} \;=\; 2\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^n[/tex]
som er en konvergent rekke. Ergo er rekken [symbol:sum][sub]n>1[/sub] [symbol:rot]n / (3[sup]n[/sup]*lnn) konvergent.
5) Nå er 3[sup]n[/sup] - n[sup]3[/sup] > (5/2)[sup]n-2[/sup] for n≥4, en ulikhet som gir
[tex]0 \;<\; \sum_{n=4}^{\infty} \: \frac{2^n}{3^n - n^3} \;<\; \sum_{n=4}^{\infty}\: \frac{2^n}{(5/2)^{n-2}} \;=\; (\frac{5}{2})^2 \: \sum_{n=4}^{\infty} (\frac{4}{5})^n[/tex]
som jo er en konvergent rekke. Følgelig konvergerer også rekken [symbol:sum][sub]n≥4[/sub] 2[sup]n[/sup] / (3[sup]n[/sup] - n[sup]3[/sup]).
PS. Når det gjelder rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/n[sup]2[/sup] i oppgave 1), holder det å skrive at denne rekken er konvergent fordi alle rekker av formen [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/n[sup]k[/sup] der k er en konstant > 1, konvergerer. Det faktum at summen av rekken er [symbol:pi][sup]2[/sup]/6 er ikke nødvendig ta med. Jeg skrev det uten videre fordi denne summen gjerne er en ting som en husker når en har jobbet en del med rekker. Likeså at summen av rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/n[sup]4[/sup] som dukker opp i oppgave 3), er [symbol:pi][sup]4[/sup]/90.
-
Guest
Rekken er som jeg skrev, [tex]\sum_{n=1}^{\infty}%20\frac{1%20-%20(-n)^n}{n^4}%20\;[/tex], og fasiten sier konvergens.Solar Plexsus wrote:(...)
Slik jeg forstår det, sier fasitsvaret at denne rekken konvergerer. Hvis det er tilfelle, må enten fasiten være feil eller så har du skrevet rekken feil. Kan det være at rekken er [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1 - (-1)[sup]n[/sup])/n[sup]4[/sup]?
Kan ikke skjønne annet enn at det her er en feil i fasiten.
Takk, interessant med de verdiene for rekkene. Bl.a. 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) +.. = [symbol:pi]/4. Snodig.
-
Guest
Jeg kommer med noen flere jeg 
. Er det foresten noen av de ovenfor hvor man lettere kan avgjøre divergens/konvergens vha. "grensesammenlikningstesten", "forholdskriteriet" eller "rottesten"?
Does it converge absolutely, conditionally or diverge?
6) [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {(-1)^{n-1}}{\sqrt n}[/tex]
Tar man tallverdien av denne så divergerer den vel, da er den altså ikke absolutt divergent, men divergerer den? Det er jo nesten en p-rekke med p<1?
7)[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {(-1)^n (n^2 - 1)}{n^2 +1}[/tex] Her aner jeg ikke.
8) [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {n!}{(-100)^n[/tex]
. Er det foresten noen av de ovenfor hvor man lettere kan avgjøre divergens/konvergens vha. "grensesammenlikningstesten", "forholdskriteriet" eller "rottesten"?Does it converge absolutely, conditionally or diverge?
6) [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {(-1)^{n-1}}{\sqrt n}[/tex]
Tar man tallverdien av denne så divergerer den vel, da er den altså ikke absolutt divergent, men divergerer den? Det er jo nesten en p-rekke med p<1?
7)[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {(-1)^n (n^2 - 1)}{n^2 +1}[/tex] Her aner jeg ikke.
8) [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac {n!}{(-100)^n[/tex]