Integraltesten, begrensning av sum

[Kwerty offline]

Hei,

Har følgende oppgave:

Bruk integraltesten til å vise at summen av rekken
[tex]\sum_{n = 1}^{inf} \frac{1}{1+n^2}[/tex]

er mindre enn [tex]\frac{pi}{2}[/tex].

Ok, har funnet følgende sammenheng:

[tex]S_{N} + \int_{N+1}^{inf} f(x)dx \leq S \leq S_{N}+\int_{N}^{inf} f(x)dx[/tex]

... Som gir

[tex]0.96 \leq S \leq 1.28[/tex], hvor N = 1.

pi/2 > 1.28, og dermed er det vist. Er dette korrekt måte å løse denne oppgaven på?

[Markus]

Yes, dette er korrekt. Du kan se dette ved å studere halen på den uendelige rekken. Tenk på halen av rekken din som et areal der hvert ledd i rekken adderer litt til arealet. Hvert ledd kan tenkes på som et rektangel med bredde $1$ og høyde $f(i)$. Da er arealet ditt $\sum_{i=k+1}^{\infty} \frac{1}{i^2+1} \cdot 1 = \sum_{i=k+1}^{\infty} \frac{1}{i^2+1}$ selvfølgelig. En annen måte å estimere dette arealet er jo ved å finne arealet under grafen til $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ (altså integrere), men siden vi har steglengde på $1$ vil vi åpenbart bomme. Hvis vi starter i $x=n+1$, og bruker høyden i venstre endepunkt, så vil vi overestimere arealet. Du kan på en måte tenke på dette som en dårlig øvre trappesum av integralet. Vi kan også starte i $x=n$, og estimere det samme arealet ved å velge høyden på rektangelene utifra høyre endepunkt. På samme måte kan du tenke på dette som en dårlig nedre trappesum av integralet. Fra dette har vi altså at $$\int_{n+1}^\infty \frac{1}{x^2+1} \, \text{d}x \leq \sum_{i=k+1}^\infty \frac{1}{i^2+1} \leq \int_n^\infty \frac{1}{x^2+1} \text{d}x$$ Nå er $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2+1} = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i^2+1} + \sum_{i=k+1}^\infty \frac{1}{i^2+1}$, så ved å addere $\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2+1}$ overalt fås $$\int_{n+1}^\infty \frac{1}{x^2+1} \, \text{d}x + \sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2+1} \leq \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{k^2+1} \, \text{d}x \leq \int_n^\infty \frac{1}{x^2+1} \, \text{d}x + \sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2+1}$$ Som er sammenhengen du bruker.

Forresten, så kan du få uendeligtegn i latex ved å skrive \infty