Gammel Putnamnøtt

[Markus]

Finn alle kontinuerlig deriverbare funksjoner $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at for alle $x$ er $$(f(x){)}^2={\int }_0^x[(f(t){)}^2+(f^{\prime }(t){)}^2]\text{d}t+2018$$

[Aleks855]

Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.

[Markus]

Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.

Hehe, fin observasjon I den originale oppgaveformuleringen sto det et annet tall, men for å gjøre oppgaven en smule mer "aktuell" byttet jeg det ut. Det har ingenting å si for løsningen hvilket tall som står der så lenge det er $\ge 0$.

[Kay]

Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst

Hvis vi deriverer begge sider får vi $2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)+{\left(\frac{df(x)}{dx}\right)}^2\iff f^{\prime }(x)=f(x)$ og herifra finner vi at $|f(x)|=e^x{e}^C$. Siden $f(0)=\pm \sqrt{2018}$ er det ok å se at $f(x)=\pm \sqrt{2018}{e}^x$ or so I would like to think?

Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil

[Markus]

Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst

Hvis vi deriverer begge sider får vi $2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x){\left(\frac{df(x)}{dx}\right)}^2\iff f^{\prime }(x)=f(x)$ og herifra finner vi at $|f(x)|=e^x{e}^C$. Siden $f(0)=\pm \sqrt{2018}$ er det ok å se at $f(x)=\pm \sqrt{2018}{e}^x$ or so I would like to think?

Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil

Rett dette, men regner med du mener

[+] Skjult tekst

$2f(x)f^{\prime }(x)=(f(x){)}^2+(f^{\prime }(x){)}^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?

Løste den likt selv

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i .

[Kay]

Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst

Hvis vi deriverer begge sider får vi $2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x){\left(\frac{df(x)}{dx}\right)}^2\iff f^{\prime }(x)=f(x)$ og herifra finner vi at $|f(x)|=e^x{e}^C$. Siden $f(0)=\pm \sqrt{2018}$ er det ok å se at $f(x)=\pm \sqrt{2018}{e}^x$ or so I would like to think?

Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil

Rett dette, men regner med du mener

[+] Skjult tekst

$2f(x)f^{\prime }(x)=(f(x){)}^2+(f^{\prime }(x){)}^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?

Løste den likt selv

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i .

Derp ja, retter opp det sporenstreks